Dibujo dos círculos: A con radio de 10 unidades, y B, con radio de unidades r. ¿Cuál es la probabilidad de que B tenga un área mayor que A?

Answer 1

Lo primero que hay que entender sobre la probabilidad es que SOLO es un modelo matemático para describir algún aspecto de la realidad. No es (necesariamente) una propiedad real de esa realidad. Esta verdad tiene serias implicaciones.

En el caso de su problema, la implicación es que debe especificar un modelo de probabilidad válido para encontrar una respuesta. Si elige el radio, r , de acuerdo con algún proceso aleatorio, entonces tiene sentido preguntarse cuál es la probabilidad de que B sea mayor que A. (Sin embargo, si solo elige r como 12, entonces no está sucediendo nada al azar, y B será mayor que A con probabilidad 1).

Entonces, para que su pregunta tenga una respuesta significativa, debe especificar cómo se elige el valor de r . Si se elige al azar de acuerdo con alguna distribución (que debe ser para que su problema sea significativo), debe especificar esa distribución para que el problema tenga una respuesta.

Por ejemplo, si [math] r \ sim [/ math] Exponencial [math] (10) [/ math], entonces [math] P (| B |> | A |) = \ int_ {10} ^ \ infty \ frac 1 {10} e ^ {- x / 10} dx = e ^ {- 1} \ aproximadamente 0.368 [/ matemática]. Pero si elige de acuerdo con una distribución que no es tan exponencial, obtendrá alguna otra respuesta.

Answer 2

Dado que el radio de un círculo determina completamente el área, su pregunta es: si elijo un número al azar entre [0, + inf), ¿cuál es la probabilidad de que este número sea mayor que 10?

Si resuelve esto con un límite para la variable r, por ejemplo, r en [0, M], entonces puede obtener la probabilidad integrando r sobre el intervalo [10, M] y dividiendo por la normalización (la integral entre [0, METRO]). El resultado sería (M-10) / M.

Si hace que M vaya al infinito, la respuesta es entonces 1 (puede verificar esto dividiendo por M tanto en el numerador como en el denominador, cancelando las M y haciendo que M sea muy grande, ¡es decir, resolviendo el límite!). Esto tiene sentido, por supuesto. Si puede elegir números entre 0 e infinito, ¡siempre serán mayores que 10!

Answer 3

No puede responder esta pregunta hasta que defina la distribución de r.

Answer 4

En efecto, la pregunta que hace es cuál es la probabilidad de que un número positivo aleatorio sea mayor que 10.

No importa qué número elija para B, la respuesta siempre será 1

Siempre hay una cantidad infinita por encima del límite. Debajo de B, el conjunto de soluciones está limitado por 0 y B.

No importa que esto tenga un número infinito de soluciones, hay más soluciones infinitas por encima de B.

Answer 5

Depende de qué distribución se use para elegir el radio r. Sin más detalles sobre cómo se elige r , no sabemos qué distribución elegir.

Utilizamos modelos probabilísticos para responder preguntas y hacer predicciones.

A veces podemos ser precisos sobre el modelo. Si usa una moneda estándar y un modelo que la lanza, entonces un buen modelo sería especificar que la probabilidad de caras es 1/2 y la probabilidad de colas es 1/2. Si tiene una moneda doblada, y no sabe mucho acerca de los resultados de lanzar monedas dobladas, aún podría encontrar un buen modelo con un parámetro p que podría ser la probabilidad de que la moneda caiga con el lado convexo hacia abajo , y 1 – p con el lado convexo hacia arriba. Entonces podría hacer algunos experimentos para estimar p.

Pero para su pregunta, no tenemos suficiente información para siquiera llegar a un modelo parametrizado. La distribución r podría ser cualquier cosa.

Edite después del detalle “Si selecciono r de una distribución uniforme, ¿cuál sería la respuesta?” fue agregado a la pregunta:

Desafortunadamente, no hay una distribución uniforme en el conjunto de todos los números positivos. Si lo hubiera, sería una buena distribución predeterminada para tomar.

Answer 6

le han dicho que la respuesta depende de la distribución de probabilidad.
Para responder a esta pregunta, debe establecer un escenario realista sobre cómo elegir el radio para el círculo que va a dibujar.
no tienes brújulas infinitas ni papel infinito. tenga en cuenta que la función de densidad de probabilidad debe integrarse a un área unitaria. que se puede encontrar normalizando cualquier integral finita.
para una función con buen comportamiento, esto significará que el pdf es (o tiende a) cero en r = infinito.