Dadas cuatro longitudes tales que la suma de tres sea siempre mayor que la cuarta, ¿podemos construir un cuadrilátero cíclico fuera de las especificaciones?

Answer 1

Si. Daré un bosquejo de una prueba no constructiva.

Construya un cuadrilátero [matemático] ABCD [/ matemático] con lados de las longitudes dadas (esto es posible debido a la condición especificada). La suma de los cuatro ángulos interiores del cuadrilátero es [matemática] 360 ^ \ circ [/ matemática]. Por lo tanto, si la suma de dos ángulos opuestos, digamos [matemática] \ ángulo A + \ ángulo C [/ matemática] es mayor que [matemática] 180 ^ \ circ [/ matemática], entonces la suma de los otros dos ángulos es menor que [matemáticas] 180 ^ \ circ [/ matemáticas].

Deforma el cuadrilátero “separando” los vértices opuestos [matemática] A [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática], cambiando solo los ángulos y no las longitudes de los lados [¿por qué es esto posible?]. Después de algún punto, la suma de estos ángulos será menor que [matemática] 180 ^ \ circ [/ matemática].

Pero el proceso anterior produce un cambio continuo en la suma de los ángulos opuestos. Por lo tanto, según el teorema del valor intermedio, hay un punto en el que la suma es exactamente [matemática] 180 ^ \ circ [/ matemática]. En este punto, el cuadrilátero es cíclico.

Aquí hay una construcción: Construcción de un cuadrilátero cíclico.