Si tiene un cuadrado de cualquier tamaño en un tablero de clavijas, ¿puede proporcionar una prueba de que siempre es imposible ampliarlo, una clavija a la vez, a un cuadrado más grande mientras mantiene una línea de simetría?

Answer 1

Si nuestro número es primo, no hay un rectángulo que se pueda hacer de las clavijas, por lo que tendremos que agregar clavijas de un estado anterior.
Si nuestro número no es primo, podemos convertirlo en un rectángulo cuyas dimensiones son factores de nuestro número actual.

entonces, podemos ver la lista de números primos que tenemos que recorrer
101, 103, 107, 109, 113

101 es primo y, por lo tanto, no podemos reorganizar las clavijas, ya que no podemos formar un rectángulo.
entonces, estamos atrapados con la cuadrícula 10 × 10
Si agregamos una clavija en la esquina de la cuadrícula, conservamos una línea de simetría a lo largo de la diagonal.

102 puede factorizarse en 51 y 2, por lo que formaremos ese rectángulo.
103 puede agregarse en el centro del borde 51, con 25 clavijas a cada lado, y permanecer simétrico.

104-106 pueden formar rectángulos.

106 nos deja con 53 y 2, así que formaremos ese rectángulo
107 puede agregarse en el centro del borde 53 y permanecer simétrico.

108 puede ser 3 x 36.
para 109, colocamos la clavija en el medio del lado 3 y permanecemos simétricos.
110-112 pueden formar rectángulos
112 se puede factorizar en 7 × 16
para 113, podemos agregar una clavija en el borde 7 y permanecer simétrica.
del 114 al 121 son todos rectángulos, y podemos aterrizar en el 11 × 11 para el final.

Answer 2

La pregunta original, antes de ser editada, se refería a transformar un cuadrado de 10 × 10 en uno de 11 × 11. Obviamente, esto no se puede hacer, ya que 101 es primo.

En general, si los dos cuadrados son N * N y M * M, la existencia de cualquier primo entre N * N y M * M resultará en una falla para resolver este rompecabezas.

Si todos los valores de N y M resultan en rompecabezas sin resolver es en sí un problema sin resolver, relacionado con la conjetura de Legendre.