¿Cuál es la diferencia física y geométrica entre un vector y su forma única asociada?

Answer 1

¡Por favor, DETÉNGASE!

Las formas diferenciales no son solo una forma diferente de entender las cantidades geométricas, son una forma absolutamente hermosa de entenderlas.

Si solo toma un poco de tiempo para aprender formas diferenciales, comprenderá la física como nunca antes. Comprenderá el significado geométrico más profundo de los campos electromagnéticos. Obtendrá una nueva y más profunda apreciación de todo lo que aprendió en el cálculo multivariable. Las formas diferenciales se encuentran en otras áreas de la física y a medida que envejece y su mente vaga por áreas de la física que pueden no ser tan interesantes en este momento, su conocimiento de las formas diferenciales le servirá bien.

La mejor manera de comprender el significado geométrico y físico es tomar un curso de E&M o Mecánica impartido desde la perspectiva de las formas diferenciales, aunque encontré algunos vínculos que deberían sentar las bases para un estudio más profundo.

Vea la página en byu.net y / o la página en jpier.org

Simplemente DETÉNGASE con la Relatividad general por unas pocas horas, eso es todo lo que tomará. Sus conjuntos de problemas de GR seguirán existiendo, pero su comprensión y apreciación se amplificarán enormemente.

Answer 2

Las formas unitarias son básicamente bivectores (es decir, vectores covariantes).

Un vector ordinario que lleva un punto a otro punto debe transformarse de forma contraria (ingenuamente: si aumenta su unidad de longitud, los valores numéricos de los componentes de un vector o tensor contravariante deben disminuir de manera correspondiente). Este sería un vector de posición, denotado (en la notación indexada) usando índices superiores, como [math] x ^ i [/ math].

Lo mismo se aplica a las velocidades; si tiene una coordenada de tiempo independiente [matemática] \ tau [/ matemática] (tiempo ordinario en física no relativista o tiempo apropiado en física relativista), la velocidad será [matemática] v ^ i = dx ^ i / d \ tau [ / math], nuevamente contravariante.

Por el contrario, un campo de gradiente (es decir, una fuerza) terminaría con la coordenada contravariante en el denominador: es decir, [matemática] \ parcial_i = \ parcial / \ parcial x ^ i [/ matemática] se transforma como una cantidad covariante.

Del mismo modo, la definición canónica para el momento cuatro está dada por [math] \ pi_i = \ partial L / \ partial v ^ i [/ math]. Por lo tanto, la forma “natural” de presentar el momento sería como vectores covariantes, es decir, como formas únicas.