Objetivos de aprendizaje)
· Identificar propiedades, incluidas las mediciones de ángulos, de cuadriláteros.
Introducción
Los cuadriláteros son un tipo especial de polígono. Al igual que con los triángulos y otros polígonos, los cuadriláteros tienen propiedades especiales y se pueden clasificar por las características de sus ángulos y lados. Comprender las propiedades de los diferentes cuadriláteros puede ayudarlo a resolver problemas que involucran este tipo de polígono.
- ¿Cuál es la longitud de la línea que divide un triángulo inscrito en la siguiente ilustración?
- ¿Alguien ha pensado en buscar formas geométricas como una forma de información en lugar de entropía, 0 y 1 de Shannon?
- Al integrarse en coordenadas esféricas, ¿por qué los límites para el ángulo Phi son la mitad de lo que esperaría que fueran?
- Si dos líneas se superponen y directamente una encima de la otra, ¿son ambas paralelas y coinciden o simplemente coinciden?
- ¿Cuáles son las aplicaciones de la vida real de cada sistema de coordenadas?
Definiendo un cuadrilátero
Escoger el nombre “cuadrilátero” te ayuda a entender a qué se refiere. El prefijo “quad-” significa “cuatro”, y “lateral” se deriva de la palabra latina para “lado”. Por lo tanto, un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
Como se trata de un polígono , sabes que es una figura bidimensional formada por lados rectos. Un cuadrilátero también tiene cuatro ángulos formados por sus cuatro lados. A continuación se presentan algunos ejemplos de cuadriláteros. Observe que cada figura tiene cuatro lados rectos y cuatro ángulos.
Ángulos interiores de un cuadrilátero
La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es 360 °. Considere los dos ejemplos a continuación.
Podría dibujar muchos cuadriláteros como estos y medir cuidadosamente los cuatro ángulos. Encontraría que para cada cuadrilátero, la suma de los ángulos interiores siempre será 360 °.
También puede usar su conocimiento de triángulos como una forma de entender por qué la suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es 360 °. Cualquier cuadrilátero se puede dividir en dos triángulos como se muestra en las imágenes a continuación.
En la primera imagen, los cuadriláteros se han dividido en dos triángulos. Las medidas de los ángulos de un triángulo se muestran para cada uno.
Estas medidas suman 180º. Ahora mire las medidas para los otros triángulos, ¡también suman 180º!
Como la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180 ° y hay dos triángulos en un cuadrilátero, la suma de los ángulos para cada cuadrilátero es 360 °.
Tipos específicos de cuadriláteros
Comencemos examinando el grupo de cuadriláteros que tienen dos pares de lados paralelos. Estos cuadriláteros se llaman paralelogramos. Toman una variedad de formas, pero a continuación se muestra un ejemplo clásico.
Imagina extender los pares de lados opuestos. Nunca se cruzarían porque son paralelas. Observe también que los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes, como lo son los lados opuestos. (Recuerde que “congruente” significa “del mismo tamaño”.) El símbolo geométrico para congruente es, por lo que puede escribir y. Los lados paralelos también tienen la misma longitud: y. Estas relaciones son verdaderas para todos los paralelogramos.
Hay dos casos especiales de paralelogramos que le resultarán familiares desde sus primeras experiencias con formas geométricas. El primer caso especial se llama rectángulo . Por definición, un rectángulo es un paralelogramo porque sus pares de lados opuestos son paralelos. Un rectángulo también tiene la característica especial de que todos sus ángulos son ángulos rectos; Sus cuatro ángulos son congruentes.
El otro caso especial de un paralelogramo es un tipo especial de rectángulo, un cuadrado . Un cuadrado es una de las formas geométricas más básicas. Es un caso especial de un paralelogramo que tiene cuatro lados congruentes y cuatro ángulos rectos.
Un cuadrado también es un rectángulo porque tiene dos conjuntos de lados paralelos y cuatro ángulos rectos. Un cuadrado también es un paralelogramo porque sus lados opuestos son paralelos. Por lo tanto, un cuadrado puede clasificarse en cualquiera de estas tres formas, siendo “paralelogramo” la descripción menos específica y “cuadrado”, la más descriptiva.
Otro cuadrilátero que puede ver se llama rombo . Los cuatro lados de un rombo son congruentes. Sus propiedades incluyen que cada par de lados opuestos es paralelo, lo que también lo convierte en un paralelogramo.
En resumen, todos los cuadrados son rectángulos, pero no todos los rectángulos son cuadrados. Todos los rectángulos son paralelogramos, pero no todos los paralelogramos son rectángulos. Y todas estas formas son cuadriláteros.
El siguiente diagrama ilustra la relación entre los diferentes tipos de cuadriláteros.
Puede usar las propiedades de los paralelogramos para resolver problemas. Considere el ejemplo que sigue.
Ejemplo
Problema
Determine las medidas de y .
es opuesto
es opuesto
Identifica ángulos opuestos.
Una propiedad de los paralelogramos es que los ángulos opuestos son congruentes.
= 60 °, entonces = 60 °
= 120 °, entonces = 120 °
Use las medidas de ángulo dadas para determinar medidas de ángulos opuestos.
Responder
= 60 ° y = 120 °
Trapecios
Hay otro tipo especial de cuadrilátero. Este cuadrilátero tiene la propiedad de tener solo un par de lados opuestos que son paralelos. Aquí hay un ejemplo de un trapecio .
Tenga en cuenta que, y eso y no son paralelos. Puedes imaginar fácilmente que si extendieras los lados y, se cruzarían por encima de la figura.
Si los lados no paralelos de un trapecio son congruentes, el trapecio se llama trapecio isósceles . Al igual que el triángulo de nombre similar que tiene dos lados de igual longitud, el trapecio isósceles tiene un par de lados opuestos de igual longitud. El otro par de lados opuestos es paralelo. A continuación se muestra un ejemplo de un trapecio isósceles.
En este trapecio ABCD , y.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Algunos trapecios son paralelogramos.
B) Todos los trapecios son cuadriláteros.
C) Todos los rectángulos son cuadrados.
D) Una forma no puede ser un paralelogramo y un cuadrilátero.
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Puede usar las propiedades de los cuadriláteros para resolver problemas que involucran trapecios. Considere el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Problema
Encuentra la medida de.
= 360 °
La suma de las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360 °.
= 90 °
= 90 °
El símbolo cuadrado indica un ángulo recto.
60 ° + + 90 ° + 90 ° = 360 °
Como se dan tres de las cuatro medidas de ángulo, puede encontrar la cuarta medida de ángulo.
+ 240 ° = 360 °
= 120 °
Calcule la medida de.
Desde la imagen, puede ver que es un ángulo obtuso, por lo que su medida debe ser mayor que 90 °.
Responder
= 120 °
La siguiente tabla resume los tipos especiales de cuadriláteros y algunas de sus propiedades.
Nombre del cuadrilátero
Cuadrilátero
Descripción
Paralelogramo
2 pares de lados paralelos.
Los lados opuestos y los ángulos opuestos son congruentes.
Rectángulo
2 pares de lados paralelos.
4 ángulos rectos (90 °).
Los lados opuestos son paralelos y congruentes.
Todos los ángulos son congruentes.
Cuadrado
4 lados congruentes.
4 ángulos rectos (90 °).
Los lados opuestos son paralelos.
Todos los ángulos son congruentes.
Trapecio
Solo un par de lados opuestos es paralelo.
Resumen
Un cuadrilátero es un nombre matemático para un polígono de cuatro lados. Paralelogramas, cuadrados, rectángulos y trapecios son todos ejemplos de cuadriláteros. Estos cuadriláteros obtienen su distinción en función de sus propiedades, incluido el número de pares de lados paralelos que tienen y sus medidas de ángulo y lado.