Geometría: ¿Cuál es una explicación intuitiva de la fórmula para el área de un círculo?

Answer 1

Kelly Cox ya ha revelado la intuición correcta, pero aquí hay una exposición más elaborada de Steven Strogatz en sus columnas de opinión en NYT [1].

Su explicación, junto con la prueba, también da una intuición sobre cómo se usa el cálculo para resolver este problema :

El área de un círculo (la cantidad de espacio dentro de él) viene dada por la fórmula [matemática] A = \ pi r ^ 2 [/ matemática]

Aquí A es el área, [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] es la letra griega pi, y [matemáticas] r [/ matemáticas] es el radio del círculo, definido como la mitad del diámetro. [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] es la razón de la circunferencia dividida por el diámetro del círculo.

Todos memorizamos esta fórmula en la escuela secundaria, pero ¿de dónde viene? No suele probarse en la clase de geometría. Si pasó a tomar cálculo, probablemente vio una prueba de ello allí, pero ¿es realmente necesario usar cálculo para obtener algo tan básico?

Sí lo es.

Lo que dificulta el problema de encontrar el área de un círculo es que los círculos son redondos . Si estuvieran hechos de líneas rectas, no habría problema. Encontrar las áreas de triángulos, cuadrados y pentágonos es fácil. Pero las formas curvas como los círculos son difíciles.

La clave para pensar matemáticamente sobre formas curvas es fingir que están formadas por muchas pequeñas piezas rectas. Eso no es realmente cierto, pero funciona … siempre y cuando lo lleves al límite e imagines infinitas piezas, cada una infinitamente pequeña. Esa es la idea crucial detrás de todo el cálculo.

Aquí hay una forma de usarlo para encontrar el área de un círculo. Comience cortando el área en cuatro cuartos iguales y reorganícelos así.

La extraña forma festoneada en la parte inferior tiene la misma área que el círculo, aunque eso puede parecer bastante poco informativo ya que tampoco conocemos su área. Pero al menos sabemos dos hechos importantes al respecto. Primero, los dos arcos a lo largo de su parte inferior tienen una longitud combinada de [matemática] \ pi r [/ matemática], exactamente la mitad de la circunferencia del círculo original (porque la otra mitad de la circunferencia se explica por los dos arcos en la parte superior) . Segundo, los lados rectos de las rebanadas tienen una longitud de [math] r [/ math], ya que cada uno de ellos era originalmente un radio del círculo.

Luego, repita el proceso, pero esta vez con ocho rebanadas, apiladas alternativamente como antes.
La forma festoneada se ve un poco menos extraña ahora. Los arcos en la parte superior e inferior todavía están allí, pero no son tan pronunciados. Otra mejora es que los lados izquierdo y derecho de la forma festoneada no se inclinan tanto como solían hacerlo. A pesar de estos cambios, los dos hechos anteriores continúan vigentes: los arcos en la parte inferior todavía tienen una longitud neta de [matemáticas] \ pi r [/ matemáticas], y cada lado todavía tiene una longitud de [matemáticas] r [/ matemáticas] . Y, por supuesto, la forma festoneada todavía tiene la misma área que antes, el área del círculo que estamos buscando, ya que es solo una reorganización de las ocho rebanadas del círculo.

A medida que tomamos más y más rebanadas, sucede algo maravilloso: la forma festoneada se acerca a un rectángulo. Los arcos se vuelven más planos y los lados se vuelven casi verticales.
En el límite de infinitas rebanadas, la forma es un rectángulo. Al igual que antes, los dos hechos siguen vigentes, lo que significa que este rectángulo tiene una parte inferior de ancho [math] \ pi r [/ math] y un lado de altura [math] r [/ math].

Pero ahora el problema es fácil. El área de un rectángulo es igual a su ancho por su altura, por lo que multiplicar [matemática] \ pi r [/ matemática] por [matemática] r [/ matemática] produce un área de [matemática] \ pi r ^ 2 [/ matemática] para El rectángulo. Y dado que la forma reorganizada siempre tiene la misma área que el círculo, ¡esa es la respuesta para el círculo también!

[1] Llevarlo al límite
[2] Puedes leer el resto de los maravillosos artículos de Strogatz aquí: http: //opinionator.blogs.nytimes…

Answer 2

Iré analítico (aunque esta no sea la forma más intuitiva).

Considere su círculo de radio r como una suma infinita de círculos concéntricos, como una cebolla:

Llame t al radio de cada círculo concéntrico (o anillo, se entiende la idea). La longitud de cada circunferencia infinitesimal está obviamente dada por [math] 2t \ pi [/ math]. Si integra de 0 a r obtendrá la ecuación de área:

[matemáticas] Área (r) = \ int_0 ^ {r} 2 \ pi t \, dt = \ left [(2 \ pi) \ frac {t ^ 2} {2} \ right] _ {t = 0} ^ {r} = \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]

También puedes pensarlo geométricamente (suspiro, no me gusta esto): piensa en un círculo como un polígono regular de n lados .

A medida que n se acerca al infinito, obtienes una aproximación cada vez más cercana del área real. Esto es mucho más intuitivo, pero también menos elegante.

Answer 3

La intuición en realidad proviene de la intuición de lo que es Pi.

¿Qué es pi?

Piénselo, ¿qué es exactamente ese número que suena similar y, para algunas personas, tan dulce como el pastel?

Oh, es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro.

Bueno, sí y no. La definición anterior es utilitaria. En el sentido de que te dice cómo calcular el valor de Pi, simplemente dibuja un círculo perfecto. Mida su circunferencia y diámetro. Dividirlos, y listo! Tienes pi. Es más fácil decirlo que hacerlo

Pero aún no hemos respondido la pregunta. Si no está llegando a donde voy, aquí hay otro ejemplo.

¿Qué es la resistencia?
Se podría decir, Oh, la resistencia es la relación entre el voltaje y la corriente, R = V / I (de la Ley de Ohm)

Nuevamente me has dicho cómo calcular la resistencia, no lo que es. Entonces la pregunta sigue sin respuesta.

Una respuesta satisfactoria sería

La resistencia eléctrica de un conductor eléctrico es la oposición al paso de una corriente eléctrica a través de ese conductor; la cantidad inversa es la conductancia eléctrica , la facilidad a la que pasa una corriente eléctrica

(tomado de Wikipedia)

Tenga en cuenta aquí que la definición es una intuición, eso es todo. No dice cómo cambia la oposición (proporción directa / inversa). Eso es tratado por la Ley de Ohm

Así que ahora volviendo a la pregunta, ¿Qué es Pi?

Resulta que una definición simple sería,

Pi es el área de un círculo de radio unitario

De la misma manera, 1 cm ^ 2 es el área de un cuadrado de lado 1 cm

Una vez hecho esto, el r ^ 2 proviene de agrandar el círculo unitario por un factor de r el radio

¿Cómo?

Bueno, dividirás el círculo en cuadrados muy pequeños (y me refiero a cuadrados muy, muy pequeños). Ahora, si aumentamos la longitud del borde de cualquiera de estos cuadrados en un factor de r, el área del cuadrado pequeño aumenta en un factor de r ^ 2 (Por definición del área de un cuadrado). Ahora resumiendo esto, nos damos cuenta de que esto no es más que un círculo de radio r. Por lo tanto, el área del círculo de radio r es pi * (r ^ 2)

Fuente: Math! (¡Matemáticas !: Encuentros con estudiantes de secundaria por Serge Lang)

Answer 4

Hay dos preguntas distintas que deben abordarse para explicar la fórmula [matemáticas] A = \ pi r ^ 2. [/ Matemáticas] Uno tiene que ver con las [matemáticas] r ^ 2, [/ matemáticas] y el otro tiene que ver con la constante [matemáticas] \ pi. [/ matemáticas]

1. ¿Por qué el área de un círculo es proporcional al cuadrado en el radio?

Una vez que se responde esa pregunta, puede definir [math] \ pi [/ math] como la constante de proporcionalidad.

2. ¿Cuál es el valor de esta constante [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] ?

La intuición detrás del punto 1 es que cuando escalas cualquier figura plana, su área se escala por el cuadrado. Esto funciona para cualquier figura: círculo, cuadrado, triángulo, Nueva Jersey.
Si duplica las dimensiones lineales de una figura plana, su área aumenta en un factor de 4. Si las triplicó, entonces el área aumenta en un factor de 9. Y si aumenta en escala por un factor de [matemáticas] r, [/ math] entonces el área sube por un factor de [math] r ^ 2. [/ math]

En particular, el área de un círculo es proporcional al área del cuadrado en su radio. Eso se ocupa del punto 1.

Ahora podemos definir [math] \ pi [/ math] como la constante de proporcionalidad. Por lo tanto,

[matemáticas] A = \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]

A continuación, a la segunda pregunta. ¿Cuál es el valor de esta constante [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]?

Eso lleva tiempo determinarlo. Muchas de las civilizaciones antiguas usaron la aproximación 3. Los antiguos egipcios y otros encontraron mejores aproximaciones, pero no sabemos cómo las encontraron.

Los escritos de Arquímedes permanecen, y sabemos cómo lo hizo, es decir, aproximando círculos por polígonos regulares de más y más lados: 6, 12, 24, 48 y 96. Usando el 96-gon, acotó el valor de [matemáticas ] \ pi [/ math] entre 3 + 10/71 y 3 + 1/7. Ese segundo valor, 22/7, es una estimación común de [math] \ pi. [/ Math]

Answer 5

La intuición radica en entender el área de un círculo como el área de un triángulo.

El área de un triángulo es [math] \ frac {1} {2} bh [/ math]. El área de un círculo es [matemática] \ frac {1} {2} C r [/ matemática] donde [matemática] C [/ matemática] es la circunferencia y [matemática] r [/ matemática] es el radio:

Las curvas rojas son equivalentes en longitud.

La idea es dividir el círculo en un montón de pequeños sectores. Desentraña el círculo, haciendo que la circunferencia sea recta y convirtiendo los sectores en triángulos isósceles. Ahora corta los triángulos y recoge sus vértices en un punto (el centro del círculo de arriba).

Considere que la siguiente declaración proviene de Arquímedes:

El área de cualquier círculo es igual a un triángulo rectángulo en el que uno de los lados sobre el ángulo recto es igual al radio y el otro a la circunferencia del círculo .

Puede seguir el enlace a una celda Sage donde se muestra el área de un sector y el área de un triángulo rectángulo.

La intuición es que podemos equiparar el área de un sector al área de un triángulo rectángulo donde las patas son la longitud del arco y el radio:

[matemáticas] A = \ frac {1} {2} bh = \ frac {1} {2} sr = \ frac {1} {2} (\ theta r) r = \ frac {1} {2} \ theta r ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] A = \ frac {1} {2} bh = \ frac {1} {2} C r = \ frac {1} {2} (\ tau r) r = \ frac {1} {2} \ tau r ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] A = \ frac {1} {2} \ tau r ^ 2 = \ frac {1} {2} (2 \ pi) r ^ 2 = \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 6

Arquímedes fue el primer matemático en llegar al resultado.

Primero, una cosa que era de conocimiento común entre los geómetras en los días de Arquímedes es que si todo lo que sabes sobre un polígono regular dado es la distancia desde el centro del polígono hasta la mitad de un lado (llámalo [matemáticas] h [/ matemática]) y el perímetro del polígono (llámelo [matemática] Q [/ matemática]), entonces el área del polígono regular es [matemática] \ frac {1} {2} hQ [/ matemática]. Esto es bastante intuitivo. Todo lo que debe hacer es cortar el polígono en un montón de triángulos y tomar el área de cada triángulo, y agregarlos a todos. Me gusta esto:

Dado que esta fórmula no depende del número de lados, Arquímedes supuso que el área de un círculo de radio [matemática] r [/ matemática] y circunferencia [matemática] C [/ matemática] era [matemática] \ frac {1 } {2} rC [/ matemáticas]. Entonces simplemente necesitaba probarlo.

Sea [matemática] A [/ matemática] el área de un círculo de radio [matemática] r [/ matemática] y circunferencia [matemática] C [/ matemática]. Reclamó [matemáticas] A = \ frac {1} {2} rC [/ matemáticas].

Prueba: Suponga que [math] A \ ne \ frac {1} {2} rC [/ math]. Entonces [math] A> \ frac {1} {2} rC [/ math] o [math] A <\ frac {1} {2} rC [/ math].

Si [math] A> \ frac {1} {2} rC [/ math], entonces construimos lo siguiente:

Donde el polígono inscrito tiene área [matemática] P [/ matemática]. Como el polígono está inscrito, sabemos [matemáticas] A> P [/ matemáticas]. Además, si ignoramos cuántos lados se dibujan realmente, podemos darle al polígono suficientes lados. ¿Cuánto es ” suficiente “? El valor [math] P [/ math] se acercará cada vez más a [math] A [/ math] si el polígono tiene más y más lados. Deseamos darle al polígono tantos lados que [matemática] P [/ matemática] pasa [matemática] \ frac {1} {2} rC [/ matemática], lo que sucederá desde [matemática] A> \ frac {1 } {2} rC [/ matemáticas]. Por lo tanto, le hemos dado al polígono suficientes lados para que [math] A> P> \ frac {1} {2} rC [/ math].

Usando el primer comentario que hice, sabemos que [matemática] P = \ frac {1} {2} hQ [/ matemática], donde [matemática] Q = s + s +… + s [/ matemática] es el perímetro. Una vez más, dado que el polígono está inscrito, debemos tener [math] r> h [/ math] y [math] C> Q [/ math]. Sin embargo, esto significa [matemática] P> \ frac {1} {2} rC> \ frac {1} {2} hQ = P [/ matemática], que significa [matemática] P> P [/ matemática], que obviamente es Una contradicción.

Por lo tanto, no podemos tener [math] A> \ frac {1} {2} rC [/ math].

Pero, ¿qué pasa si [matemáticas] A <\ frac {1} {2} rC [/ matemáticas]? Luego circunscribimos un polígono alrededor del círculo en su lugar:

Ahora podemos ver [matemáticas] Q> C [/ matemáticas] y [matemáticas] h = r [/ matemáticas]. Además, le damos al polígono suficientes lados para que [math] A

Por lo tanto, no podemos tener [matemáticas] A <\ frac {1} {2} rC [/ matemáticas].

La única otra posibilidad es [matemáticas] A = \ frac {1} {2} rC [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que desde [matemáticas] C = 2 \ pi r [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] A = \ frac {1} {2} rC = \ frac {1} {2} r (2 \ pi r) = \ pi r ^ 2 [/ matemáticas].

Answer 7

Supongamos que conocemos la ecuación para la circunferencia (2πr) y queremos averiguar la ecuación para el área. ¿Qué podemos hacer?

Cálculo al rescate. Usemos nuestra visión de rayos X para darnos cuenta de que un disco es realmente solo un montón de anillos juntos. Similar a un tronco de árbol, aquí hay una vista “paso a paso” de un círculo relleno:
¿Por qué ayuda este punto de vista? Bueno, desenrollemos esos anillos enrollados para que sean más fáciles de medir:
Whoa! Tenemos un montón de anillos enderezados que forman un triángulo, que es mucho más fácil de medir.

La altura del anillo más grande es la circunferencia completa (2πr), y cada anillo se vuelve más pequeño. La altura de cada anillo depende de su distancia original desde el centro; el anillo a 3 pulgadas del centro tiene una altura de 2π⋅3 pulgadas. El anillo más pequeño es un punto, más o menos, sin ninguna altura.

Y debido a que los triángulos son más fáciles de medir que los círculos, encontrar el área no es demasiado problema. El área del “triángulo anular” = 1/2 (altura base⋅) = 1/2 xrx (2πr) = πr2

Créditos a: Cálculo en pocos minutos

Answer 8

Les dije a mis hijos (menores de 10 años) lo siguiente:

¿Cuál es la fórmula para un cuadrado si todo lo que tienes es el radio del cuadrado? Bueno, obviamente es largo x ancho, que es (2r) ^ 2 = 4r ^ 2. Pero, un círculo cabe dentro de un cuadrado de radio r, por lo que la constante para un círculo es un poco menor que 4. Por otro lado, puede usar el teorema de Pitágoras en un diamante inscrito dentro del círculo (dentro del cuadrado exterior). El radio del diamante es r * hipotenusa = r * sqrt (2) / 2, por lo que el área debe ser (2 * r * sqrt (2) / 2) ^ 2 = 2r ^ 2. Por lo tanto, sabemos que el valor de pi está en algún lugar aproximadamente a medio camino entre el factor constante 2 y el factor constante 4, debido a los cuadros de inscripción y exención del círculo. Alternativamente, puede ver que el área del diamante de inscripción es exactamente la mitad del área del cuadrado de inscripción solo visualmente. Y resulta que la constante pi está un poco más de la mitad de 2 … 4, es 3.14159 …

Answer 9

Considere un bucle circular de radio ‘r’, de masa ‘m’ que lleva una carga ‘q’.

Deje que su momento magnético sea ‘M’, y el momento angular sea ‘L’.

El bucle gira sobre su eje perpendicular al plano del bucle.

Deje que su velocidad angular sea ‘w’.

Área = A.

Como el bucle cargado gira, se establece una corriente en el bucle.

Corriente = I = (q * w) / (2 * pi);

Ahora, sabemos eso, para un cuerpo portador de corriente que se mueve a una velocidad uniforme en un camino circular.

M / L = q / 2m;

Ahora, podemos multiplicar ‘L’ en ambos lados, por lo que obtenemos,

M = Lq / 2m;

Ahora, ya que L = (m) * (w) * (r ^ 2); (momento angular)

M = m * w * (r ^ 2) * q / 2m;

M = (r ^ 2) * (qw / 2);

Ahora multiplicando pi tanto en Numerador como en Denominador,

M = (pi) * (r ^ 2) * (qw) / (2 * pi);

Ahora desde (q * w) / (2 * pi) = I

Por lo tanto, M = (pi) * (r ^ 2) * I;

Ahora, sabemos que M = I * A;

Por lo tanto, M = I * A = (pi) * (r ^ 2) * I;

Cancelando ‘I’ de ambos lados, obtenemos,

A = (pi) * (r ^ 2); Cuál es la fórmula para el área del círculo.

Esta es otra forma de probar el valor del área del círculo, aunque no sirve :-P.

Answer 10

Me gustaría comenzar con las intuiciones gemelas y la longitud del volumen de una bola n de radio r es [matemática] V_n (r) = v_n r ^ n [/ matemática] y para la circunferencia (área de superficie) es [matemáticas] S_n (r) = s_n r ^ {n-1} [/ matemáticas].

En particular, la circunferencia de un círculo es directamente proporcional a su radio y, por convención, Euler propuso que la relación circunferencia / diámetro tenga el símbolo [math] \ pi [/ math] para que [math] S_1 (r) = \ pi s = 2 \ pi r. [/ math] Esto significa que para un valor dado de r, el área de la porción de un círculo cerca del perímetro r es aproximadamente [math] (2 \ pi r) \ delta r [/ math], de modo que el área de todo el círculo, teniendo en cuenta la variación de r es
[matemáticas] \ int_ \ rho = 0 ^ \ rho = 2 \ pi \ rho d \ rho = \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]

En términos visuales, sumamos las áreas de anillos delgados.

Para 3 dimensiones, considere las coordenadas cilíndricas eje z, eje r y eje [matemático] \ theta [/ matemático]. Queremos usar la información sobre áreas 2-D para obtener el volumen de una esfera.

Corta la esfera a lo largo del eje z. En cada punto z, el valor [math] = \ sqrt {R ^ 2-z ^ 2} [/ math] donde R es el radio. Entonces el volumen es
[matemáticas] \ int_ {z = -R} ^ R \ pi (R ^ 2-z ^ 2) dz = (4/3) \ pi R ^ 3. Entonces, como se indicó anteriormente, obtenemos V_3 (R) = (4/3) \ pi R ^ 3 [/ math] y S_3 (R) = \ frac {dS_3} {dR} = 4 \ pi R ^ 2 [/ math]

Podemos repetir este procedimiento para obtener valores del volumen y el área de superficie de las bolas de mayor dimensión.

Por una línea diferente de razonamiento podemos inferir que las fórmulas pueden reexpresarse como que contienen el factor \ pi ^ {n / 2}, y usando la función gamma:
[matemáticas] v_n = \ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma {(n / 2 + 1)}} [/ matemáticas]
Esto se ve diferente hasta que utiliza las propiedades de la función gamma, especialmente
[matemáticas] \ Gamma (1/2) = \ sqrt {\ pi} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma {x} [/ matemáticas]

Answer 11

La forma más fácil de pensarlo es imaginar un cuadrado que rodea completamente el círculo, pero que aún toca el círculo en 4 puntos. El área de ese cuadrado será la longitud de los lados al cuadrado. Los lados serán el diámetro del círculo, o el doble del radio del círculo. Entonces el área del cuadrado será [matemática] 4r ^ {2} [/ matemática]

Si piensa en un círculo, sabe que su área debe ser más pequeña que ese cuadrado, pero no mucho más pequeña. Claramente, no es tan pequeña como la mitad del área del cuadrado. Y dado que el círculo crece proporcionalmente al tamaño del cuadrado y viceversa, hay alguna constante que describe su relación. Probablemente pueda adivinar que la constante está en algún lugar alrededor de 3. Obtener una estimación más precisa de pi probablemente esté fuera del alcance de la pregunta.

Answer 12

Imagina que eres un agricultor y tienes que medir tu granja que toma la forma de un círculo con radio [matemática] r [/ matemática].

Supongamos que estás en una era en la que no sabías sobre integración, pero sabes cómo resolver con triángulos.

Entonces, una solución simple que se le ocurriría es dividir su granja en formas simples que sepa cómo calcular sus áreas, y sumarlas para encontrar el área de su granja aproximadamente, la forma simple que puede dibujar es un polígono porque consiste en triángulos con los que no tienes ningún problema, y ​​obviamente puedes elegir un polígono regular en lugar de uno irregular para simplificar tu cálculo:

Y probablemente notará que cuanto más divide su granja, más obtiene un valor preciso. Entonces decide encontrar el área para un polígono regular con n lados en forma de una fórmula matemática en términos de n, y sabe que cuanto más elige una gran cantidad de n, más obtiene un área precisa.

Para encontrar el polígono de los lados n, pensarías calcular cada área del triángulo y juntarlas:

También notarías que el triángulo es isósceles, por lo que solo necesitas dos cosas para encontrar su área, sabes su lado [matemática] r [/ matemática], así que solo tienes que obtener [matemática] \ alfa [/ matemática ]

[matemáticas] \ alpha = \ frac {2. \ pi} {2.n} = \ frac {\ pi} {n} [/ matemáticas] porque tiene n lados.

[matemáticas] h = r.cos (\ alpha). [/ matemáticas]

Por otro lado: [matemáticas] b = 2.r.sin (\ alpha). [/ Matemáticas]

Sabes muy bien que el área de cada triángulo es:

[matemáticas] s_n = \ frac {bh} {2} = r ^ 2.sin (\ alpha) .cos (\ alpha) [/ math]

El área total de la granja dividida es [matemática] S_n = n.s_n = r ^ 2.n.sin (\ alpha) .cos (\ alpha). [/ Math]

Ahora tiene una fórmula genérica en la que acaba de sustituir el valor de [math] n [/ math] para encontrar un área aproximada, por lo que probablemente comience con 10 y encuentre un valor que quizás no lo satisfaga, entonces aumentas n para encontrar un valor preciso, tomas n = 60, y más de nuevo tomas 100, y probablemente notarás que el valor obtenido converge a un valor finito que es el área real y exacta de tu granja, por lo que decida encontrar ese límite cuando n es muy grande, lo que significa que n tiende a [math] \ infty. [/ math] Por lo tanto, caería en este problema:

[math] \ lim \ limits_ {x \ rightarrow \ infty} S_n =? [/ math] Y aquí hay un cálculo simple de límite de problema.

[matemáticas] S_n = r ^ 2.n.sin (\ alpha) .cos (\ alpha) [/ math]

[matemáticas] = r ^ 2. \ pi. \ frac {n} {\ pi} .sin (\ alpha) .cos (\ alpha) [/ math]

[matemáticas] = r ^ 2. \ pi. \ frac {sin (\ alpha) .cos (\ alpha)} {\ alpha}. [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] \ lim \ limits_ {x \ rightarrow \ infty} S_n = \ lim \ limits _ {\ alpha \ rightarrow 0} r ^ 2. \ pi. \ frac {sin (\ alpha) .cos (\ alpha)} { \ alpha} = r ^ 2. \ pi. [/ math]

Porque [matemáticas] \ lim \ límites _ {\ alpha \ rightarrow 0} \ frac {sin (\ alpha)} {\ alpha} = 1 [/ matemáticas]

y [math] \ lim \ limits _ {\ alpha \ rightarrow 0} cos (\ alpha) = 1. [/ math]

Su área de granja exacta es [matemática] S = r ^ 2. \ Pi. [/ Matemática]

Answer 13

Otra forma de verlo es como un trapecio. Un trapecio es un cuadrilátero con dos lados paralelos de longitud ayb con una distancia (altura h) entre ellos. Se puede suponer que un círculo es un trapecio con los dos lados paralelos, el centro y la circunferencia y la altura, el radio. Entonces, usando la ecuación para el área del trapecio

[matemáticas] Área = \ frac {a + b} {2} * h = \ frac {0 + 2 \ pi R} {2} * R = \ pi R ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 14

Circunde un cuadrado dentro de un círculo.
La longitud de cada lado es √ 2 unidades. Por lo tanto, el área del círculo es 2r unidades cuadradas más el área dejada por el cuadrado en el círculo.
Por lo tanto, el área del círculo es proporcional a r ^ 2.
El área ∝ r ^ 2 y pi aquí se usa como factor de proporcionalidad porque el valor de pi es constante para cualquier círculo de cualquier radio.
Por lo tanto, el área equivale a pi * r ^ 2.
Espero que haya ayudado incluso un poco.

Answer 15

La forma en que pienso es esto.
Estoy avanzando rápidamente aquí, sin entrar en por qué Radian es la forma más intuitiva de definir ángulos.

Por geometría simple, sabemos que el área del triángulo es media base x altura.

Piense en una porción muy pequeña del círculo como un triángulo, dividiendo el círculo por igual. En este caso, la altura es el radio y la base es una fracción de pi, llamémosla rx theta x pi donde theta es la relación de la base al perímetro, que es 2pi x r.

Ahora agreguemos todas las porciones pequeñas.

A = (r / 2) x (rx theta x pi) x cuántos triángulos tenemos, que en realidad es 2pi x / theta

Si los combinas, obtienes pi xr ^ 2

Sorprendentemente, el reloj mostraba las 3:14 PM cuando terminé de escribir esta respuesta.

Answer 16

Algunas personas realmente definen [math] \ pi [/ math] como el área del círculo de la unidad , es decir, el círculo de la unidad de radio [math] 1 [/ math].

Como el área de una forma es proporcional al cuadrado de una de sus medidas unidimensionales, la fórmula [matemática] A = \ pi r ^ 2 [/ matemática] se deduce inmediatamente de la definición anterior de [matemática] \ pi [/ matemáticas].

Es solo cuando alguien se adhiere a una definición diferente (aunque equivalente) de [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] que la anterior que la comprensión de por qué [matemáticas] A = \ pi r ^ 2 [/ matemáticas] se vuelve más difícil .

Answer 17

Si usa la fórmula del área de cualquier polígono regular (apotema x semiperímetro), verá que la apotema es el radio y el semiperímetro es Pi multiplicado por el radio.
http://en.wikipedia.org/wiki/Apo …

Answer 18

Similar a las otras visualizaciones, aquí hay una animación del Proyecto de Matemáticas de Caltech .

Answer 19

Cuando era niño, simplemente pensaba en un círculo como un triángulo de altitud R y una base igual a la circunferencia. Eso hizo que la fórmula tuviera sentido completo.

Answer 20

Esto te puede ayudar. Aquí se responde.> Foro de Matemáticas – Pregunte al Dr. Math