Al dibujar diagramas de rayos para espejos / lentes, ¿cuál es el riguroso razonamiento físico detrás de tratar el espejo / lente como una parábola y una esfera?

Answer 1

Su pregunta resalta uno de los atajos que a menudo se usa para a) presentar la formación de imágenes a los alumnos, yb) proporcionar una aproximación “al revés” de las cualidades de formación de imágenes de una óptica. La respuesta es que restringimos el análisis a regiones muy cercanas al centro del espejo, o, de manera equivalente, a ángulos muy pequeños alejados del eje óptico. Esa aproximación se conoce como “aproximación paraxial”. Esa es la respuesta a su pregunta, pero para comprender con más detalle, es útil recorrer el proceso un poco más.

Para tener una idea de las propiedades de imagen de un espejo (o lente, pero eso es un poco más complicado y no es esencial para comprender la aproximación paraxial), es útil construir un diagrama de rayos. Un rayo es una línea que emana de un punto particular en un objeto que viaja recto hasta que se cruza con una superficie. Si la superficie es reflectante, por ejemplo, un espejo esférico, el rayo rebotará en la superficie y continuará viajando en una nueva línea recta. La dirección de la nueva línea recta está determinada por la ley de reflexión, que establece que el ángulo que forma el rayo reflejado con respecto a una línea perpendicular a la superficie es igual y opuesto al ángulo que forma el rayo entrante con respecto a esa misma perpendicular línea (llamada “normal”). Puede ser un poco complicado calcular el ángulo relativo de cada rayo cuando golpea cada punto de un espejo curvo, y aquí es donde comienzan los atajos.
En lugar de seguir cada rayo posible desde el punto en el objeto, uno generalmente elegirá dos o tres rayos que son algo más fáciles de analizar.
Antes de llegar a los rayos, hay un par de puntos geométricos importantes para aclarar.

Imagine que construye una esfera de plata hueca y (de alguna manera) pule el interior para que brille (o brillaría, si no estuviera dentro donde no hubiera luz). La esfera que hagas tendría un radio, que los diseñadores ópticos llaman radio de curvatura. Ahora toma tu esfera perfecta y corta una pequeña pieza circular. Eso es un espejo esférico. El radio de curvatura es el mismo que cuando era una esfera sólida, pero ahora solo tienes una pequeña parte de la esfera general. Cuando se hacen espejos esféricos, por supuesto, no hacen una gran esfera hueca y cortan una pieza, en cambio, solo hacen el pequeño trozo que necesitan, pero tiene el mismo radio de curvatura. Entonces, el centro de curvatura, C, es el punto que estaría en el medio si se creara toda la esfera. Ese es el punto ilustrado en el primer diagrama, donde las líneas perpendiculares a la superficie convergen. La línea que pasa por el centro del espejo y el centro de curvatura es el eje óptico del espejo. El punto a medio camino entre el centro de curvatura y el centro del espejo es el punto focal, F.

Ahora podemos llegar a los rayos.
Usualmente usará un par de rayos que son fáciles de rastrear, porque siguen un conjunto de reglas simples.
Un rayo que proviene del punto del objeto paralelo al eje se reflejará a través del punto focal, F.
Un rayo que proviene del objeto a través del punto focal, F, se reflejará en paralelo al eje óptico.
Un rayo que proviene del objeto y golpea el espejo justo en su centro se reflejará en el mismo ángulo en el que golpea, justo en el lado opuesto del eje óptico.
Un rayo que proviene del objeto a través del centro de curvatura, C, se reflejará directamente sobre sí mismo.
Esta imagen muestra los cuatro rayos, y también muestra dónde se formaría la imagen resultante.

Como puede ver, se llena un poco, por lo que generalmente usará solo dos rayos cuando intente ubicar la imagen y luego agregará otro solo como un cheque.

Ahora llegamos a su pregunta. Probablemente ya me atrapó en un pequeño engaño, porque las reglas de trazado de rayos arriba suponen exactamente lo que su pregunta implica, suponen, que la superficie es una esfera, pero actúa como una parábola. Esto se debe a que una esfera no refleja rayos paralelos a través de un único punto focal a medio camino entre el centro de curvatura y el vértice del espejo. Solo pretendemos que sí. Y, siempre y cuando la curvatura del espejo no sea demasiado grande o no estemos mirando objetos fuera del eje, generalmente es una buena aproximación. Eso es lo que se llama aproximación paraxial , que significa “cerca del eje”. Entonces, siempre que los rayos de luz estén cerca del eje, puedes fingir que la esfera está actuando como una parábola.

Por cierto, como observa en su pregunta, una parábola refleja rayos paralelos a través de un solo punto focal, por lo que podría preguntar: “¿por qué no usamos espejos parabólicos en lugar de espejos esféricos?” Dos respuestas:
1) Los espejos esféricos son mucho más fáciles de hacer.
2) Muchos sistemas ópticos modernos usan espejos parabólicos (y lentes), porque los equipos de fabricación controlados por computadora y las técnicas de medición avanzadas están haciendo que sea más fácil y económico fabricar ópticas “asféricas”.
Sin embargo, la óptica esférica siempre será más barata, y son (al igual que la aproximación paraxial) muy a menudo “lo suficientemente buenas”.
www.mountainoptical.com/ScientificSeen/

Answer 2

Si quieres dibujar diagramas de rayos, haz lo que dice Giordon Stark.

Si quiere saber la razón detrás de la esquizofrenia de la óptica de rayos, es porque asumir una esfera facilita las ecuaciones (especialmente si tiene una lente con dos superficies curvas) y una fabricación más fácil. Si está bastante cerca del eje óptico, un espejo esférico puede aproximar tanto un paraboloide (enfoca rayos paralelos en un punto) como un espejo elipsoide (enfoca un punto a otro punto). Si se desvía demasiado del eje óptico con una óptica esférica, obtendrá aberraciones esféricas, donde los rayos paralelos fuera del eje se enfocan en diferentes puntos. Me estoy pegando a los espejos en esta respuesta porque es más fácil de visualizar.
Reflector parabólico (de: reflector parabólico)
elipsoide (de: Reflectores)

Abberación esférica (no es tan malo si estás cerca del eje óptico) (de: http://en.wikipedia.org/wiki/Sph …)

Answer 3

Aquí hay algunas respuestas geniales sobre física.

Pediste las matemáticas. Entonces, la mitad inferior de una curva circular de radio 1 tendrá la forma:

[matemáticas] y = 1 – \ sqrt {1 – x ^ 2} [/ matemáticas]

La expansión de Taylor de eso es:

[matemáticas] \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {x ^ 4} {8} + O (x ^ 6) [/ matemáticas]

Debido a que es una función par (simétrica a través del eje y), no hay términos impares. Coincide con un cuadrático (parábola) más un término de cuarto orden; El término de tercer orden es cero.

Cuando [math] x [/ math] es pequeño, lo que significa que su espejo no tiene un arco grande, puede eliminar todos los términos, excepto el principal. No es que haya una “dualidad esfera / parábola”. En realidad, puede calcular la diferencia a partir del término [matemática] O (x ^ 4) [/ matemática] y ver que es pequeña cuando [matemática] x [/ matemática] está cerca de cero.

Dicho esto, cuánto erra en relación con el enfoque perfecto de la parábola en un punto es otro cálculo diferente. Pero está la matemática detrás de por qué una esfera y una cuadrática son a menudo (pero no siempre) “lo suficientemente cercanas”; no difieren hasta el término de cuarto orden.

En la práctica, las aproximaciones de orden inferior a menudo son muy útiles, especialmente cuando comienza a trabajar con funciones multivariadas y las derivadas de orden superior son intratables. (Por ejemplo, si su función es [math] \ mathbb {R} ^ {1000} \ to \ mathbb {R} [/ math], entonces su derivada de tercer orden será un tensor de rango 3 con mil millones de números en .) Usamos aproximaciones de bajo orden todo el tiempo en el aprendizaje automático y la optimización simplemente porque, con una gran cantidad de dimensiones, cualquier otra cosa es computacionalmente costosa para, a menudo, una ganancia baja o negativa (en caso de sobreajuste).

Answer 4

Nunca he oído hablar del razonamiento 2. Todavía no entiendo qué son 1, 2. Lo estás expresando de una manera realmente confusa.

Lente

1) Dibuje un rayo desde el objeto hasta su lente, y luego a través del foco.

2) Dibuje un rayo desde el objeto a través del centro de la lente y en línea recta (esto no está desviado).

Espejos

Los espejos son similares, pero no iguales a los lentes cuando se hacen diagramas de rayos.

1) Dibuja un rayo desde el objeto hasta tu espejo, y luego a través del foco. El rayo se traza hacia atrás. Los rayos que van directamente del objeto al espejo atraviesan el foco.

2) Dibuja un rayo desde el objeto a través del foco hasta el espejo. Cuando golpea el espejo, sale directamente, como el # 1 pero a la inversa.

3) Dibuje un rayo del objeto a través del centro de curvatura, este rayo golpea el espejo y viaja de regreso a lo largo de la misma línea.

Las siguientes tres imágenes provienen de diagramas de rayos para espejos