Estoy de acuerdo con la respuesta de David Rutter.
Lo que puedo ofrecerle es una fórmula que converge más rápido a este límite que:
[matemáticas] \ displaystyle A_n = \ sqrt {1 + 2 \ sqrt {2 + 3 \ sqrt {3+ \ ldots \ sqrt {(n-1) + \ bf {\ color {DarkGreen} {n \ sqrt {n} }}}}}} [/matemáticas]
Con este fin, introduciré un término adicional que predecirá la influencia desconocida de la cola restante de las raíces anidadas. Para hacer esto más efectivo, sacaré algunos factores de la secuencia y los pondré frente a la raíz.
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Primero, un ejemplo de cómo se puede extraer el factor [math] \ color {blue} {3} [/ math]:
[matemáticas] \ displaystyle A = \ color {azul} {\ sqrt [4] {3}} \ cdot \ sqrt {\ frac {1} {\ color {azul} {\ sqrt [2] {3}}} + 2 \ sqrt {\ frac {2} {\ color {blue} {3}} + \ frac {3} {\ color {blue} {3}} \ frac {\ kern-1.1em \ color {red} {\ bf /}} {\ kern-1.1em \ color {red} {\ bf /}} \ frac {1} {1} \ sqrt {3+ \ ldots}}} [/ math]
Del mismo modo, podemos eliminar todos estos factores para obtener:
[matemáticas] \ displaystyle A = \ prod_ {k = 1} ^ {\ infty} \ sqrt [2 (k-1)] {k} \ sqrt {\ frac {1} {\ prod_ {k = 2} ^ { \ infty} \ sqrt [2 (k-2)] {k}} + \ sqrt {\ frac {2} {\ prod_ {k = 3} ^ {\ infty} \ sqrt [2 (k-3)] { k}} + \ ldots \ sqrt {\ frac {n} {\ prod_ {k = n + 1} ^ {\ infty} \ sqrt [2 (k- (n + 1)))] {k}} + \ ldots}}} [/ math]
Para reescribir esto de una manera más conveniente, definamos P de la siguiente manera: (llamado “número curioso” en la referencia [1]):
[matemáticas] \ displaystyle P \ equiv \ prod_ {k = 1} ^ {\ infty} \ sqrt [2 ^ k] {k} \ aprox 1.6616879496… [/ matemáticas] prod (n ^ (1 / (2 ^ n) )) 1 al infinito
Y creemos la secuencia recursiva:
[matemáticas] \ displaystyle p_0 = P ^ 2 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, p_n = {\ left (\ frac {p_ {n-1}} {n} \ derecha)} ^ 2 [/ matemáticas]
Entonces [math] A [/ math] puede escribirse como:
[matemáticas] \ displaystyle A = p_0 \ sqrt {\ frac {1} {p_1} + \ sqrt {\ frac {2} {p_2} + \ ldots \ sqrt {\ frac {n-1} {p_ {n-1 }} + \ sqrt {\ frac {n} {p_n} + \ ldots}}}} [/ math]
(tenga en cuenta que [matemáticas] p_0 \ aprox 2.76 … [/ matemáticas] ya está más cerca de nuestro límite que [matemáticas] A_1 = 1 [/ matemáticas] )
Dado que la secuencia [math] \ frac {n} {p_n} [/ math] converge lentamente a cero, sus valores consecutivos son más o menos similares. Esto crea una relación casi recursiva. Definamos:
[matemáticas] \ displaystyle y_n \ equiv \ sqrt {\ frac {n} {p_n} + y_ {n + 1} \ ldots} [/ math]
Sostiene que:
[matemáticas] \ displaystyle y_ {n + 1} \ aprox. y_ {n} [/ matemáticas]
Y por lo tanto:
[matemática] \ displaystyle y_n \ approx \ sqrt {\ frac {n} {p_n} + y_n} [/ math]
[matemática] \ displaystyle {\ left (y_n \ right)} ^ 2 \ approx \ frac {n} {p_n} + y_n [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle {\ left (y_n \ right)} ^ 2 – y_n + \ frac {1} {4} \ approx \ frac {n} {p_n} + \ frac {1} {4} [/ math]
[matemática] \ displaystyle y_n – \ frac {1} {2} \ approx \ sqrt {\ frac {n} {p_n} + \ frac {1} {4}} [/ math]
[matemática] \ displaystyle y_n \ aprox \ color {verde} {\ frac {1} {2} + \ sqrt {\ frac {n} {p_n} + \ frac {1} {4}}} [/ matemática]
Esto se puede conectar como un ‘predictor temporal’ para el conjunto restante de raíces anidadas, lo que lleva a la nueva secuencia:
[matemáticas] \ displaystyle B_n = p_0 \ sqrt {\ frac {1} {p_1} + \ ldots \ sqrt {\ frac {n-1} {p_ {n-1}} + \ color {green} {\ frac { 1} {2} + \ sqrt {\ frac {n} {p_n} + \ frac {1} {4}}}}} [/ math]
La convergencia de la formulación inicial (línea azul) y la nueva con la ‘predicción’ (línea verde) se puede ver a continuación:
Convergencia de la secuencia al límite 3.0833551418306. Azul: fórmula inicial [matemáticas] \ it A_n [/ matemáticas] . Verde: nueva fórmula [matemáticas] \ it B_n [/ matemáticas] con la predicción y el ‘número curioso’.
Con tal ‘predicción’, después de 30 iteraciones, el error residual es aproximadamente tres órdenes de magnitud más pequeño.
[1] G. Jackson, un número muy curioso, The Mathematical Gazette 85 (2001) 84–86.