La diagonal de una unidad cuadrada tiene una longitud sqrt (2), pero tomar una gran cantidad de pequeños pasos horizontales / verticales a lo largo de la diagonal produce un camino de longitud 2. ¿Cómo podemos conciliar esta contradicción?

Answer 1

A medida que aumenta el número de pasos, cada paso se acerca más y más a la diagonal, por lo que la diferencia entre la distancia del paso y la distancia diagonal se hace más pequeña. Sin embargo, estamos agregando más y más términos de error, lo que compensa la reducción de las diferencias.

Si hay N pasos, la distancia recorrida por uno de los pasos es [matemática] 2 / N [/ matemática], y la distancia diagonal correspondiente es [matemática] \ sqrt {2} / N [/ matemática]. Esto produce una diferencia de [matemáticas] 2 / N – \ sqrt {2} / N = (1 / N) (2 – \ sqrt {2}) [/ matemáticas]. Pero cuando sumamos esto sobre N pasos, obtenemos una diferencia de [matemáticas] N (1 / N) (2 – \ sqrt {2}) = 2 – \ sqrt {2} [/ matemáticas], como se esperaba.

Answer 2

Todo se reduce a la cuestión de las longitudes de arco, o cómo mides la distancia a lo largo del camino de tu elección. Tomemos la unidad cuadrada y le demos coordenadas; poner las esquinas en [matemáticas] (0,0) [/ matemáticas], [matemáticas] (1,0) [/ matemáticas], [matemáticas] (1,1) [/ matemáticas], [matemáticas] (0,1 ) [/ math], colocando la diagonal en la línea [math] y = x [/ math].

Si tenemos unidades elementales de longitud en las direcciones [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] llamadas [matemática] dx [/ matemática] y [matemática] dy [/ matemática], respectivamente, la primaria la distancia [matemática] ds [/ matemática] a lo largo de cada ruta es diferente.

El camino a lo largo de la diagonal es [math] ds = \ sqrt {dx ^ 2 + dy ^ 2} [/ math] (de Pythagoras), pero el camino en zig-zag solo toca la diagonal en puntos sucesivos de forma [math] ( x, y) [/ math] y [math] (x + dx, y + dy) [/ math]. Para ir de un punto a otro, debe viajar [math] ds = dx + dy [/ math]. Claramente, la longitud elemental a lo largo de cada ruta es diferente, por lo que si se integrara a lo largo de esta ruta para obtener una longitud de ruta, obtendría resultados diferentes. Puedes hacer algo como esto:

Dado que el camino que estamos siguiendo es [matemática] y = x [/ matemática], podemos tomar diferenciales de ambos lados para obtener [matemática] dy = dx [/ matemática], ya que para cada unidad nos movemos en la [matemática] x [/ math] tenemos que mover la misma distancia en [math] y [/ math]. Las longitudes del camino elemental se convierten en [math] ds = \ sqrt {2 dx ^ 2} = \ sqrt {2} dx [/ math] y [math] ds = 2 dx [/ math]. La longitud del camino se obtiene por la integral

[matemáticas] \ int_a ^ b ds [/ matemáticas],

donde [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], son puntos en el camino, la distancia entre la que desea encontrar. Poniéndolo todo junto, obtenemos

[matemáticas] \ int_0 ^ 1 \ sqrt {2} dx = \ sqrt {2} [/ matemáticas]

para la primera curva, y

[matemáticas] \ int_0 ^ 1 2 dx = 2 [/ matemáticas]

para el segundo.

Lo cual es una forma elegante de decir que si caminas en zig-zags (no importa cuán grande o pequeño sea), no caminarás la misma distancia que lo harías si caminaras en línea recta. En el límite en el que está pensando, el camino en zig-zag podría ser continuo en todas partes, pero de hecho no sería diferenciable en ninguna parte, porque sería esencialmente una esquina en cada punto. Es un tipo de función fundamentalmente diferente a [math] y = x [/ math], que es suave.

Answer 3

La contradicción proviene de suponer que el mapa que envía una curva a su longitud es continuo. Por lo tanto, hemos demostrado que no lo es. Es decepcionante, pero podemos aprender a vivir con eso.

Answer 4

Las esquinas internas de una gran cantidad de pequeños escalones forman un conjunto contable de puntos que pertenecen a la diagonal y, por lo tanto, nunca representan la diagonal completa en ningún momento. La unión de todos estos conjuntos contables de puntos es la diagonal misma; Sin embargo, es una unión incontable. Si consideramos la escalera completa, fácilmente vemos que las esquinas exteriores nunca forman parte de la diagonal. Por lo tanto, no podemos, en cierto sentido, cuantificar completamente la diagonal en términos de estas escaleras.

Para hablar del “límite” de la longitud del camino primero se requiere una definición adecuada del límite que sea consistente. ¿De qué queremos tomar el caso limitante? ¿El número de pasos? ¿Qué hacemos luego con respecto a las clases equivalentes: diferentes configuraciones que tienen el mismo número de pasos? En cualquier caso, el “límite” que tomamos, como se entiende de manera intuitiva, es un número que cuantifica algo relacionado con la estructura matemática que estamos analizando (en este caso, el conjunto de todos los conjuntos contables de vértices de escaleras en diagonal) . No necesita tener nada que ver con la diagonal en sí, o su longitud en la métrica 2.

Si está familiarizado con las métricas, solo estamos trabajando con dos métricas diferentes. El primero es la métrica del taxi, o 1-métrica como se le llama a menudo, y la segunda es la métrica pitagórica ‘habitual’, o 2-métrica. Nunca hacemos el cambio de uno a otro.

Answer 5

Nunca va a sqrt (2).
Puede parecer que se está acercando a ser una diagonal, pero no lo es.

Imagine que comienza con una serie de pasos y luego los duplica. Al mismo tiempo, acercas la imagen y notas que nada ha cambiado. Todavía tiene pasos horizontales / verticales que aún forman un ángulo de 45º con la diagonal, por lo que cada 2 pasos que forman un triángulo con la diagonal crean un camino que siempre es 2 / sqrt (2) más grande que la pieza diagonal correspondiente. No importa cuántas veces duplique el número de pasos, siempre verá lo mismo.

El error que está cometiendo al visualizar el aumento de los pasos es que los sigue mirando desde una perspectiva “lejana”, lo que hace que parezca que se están convirtiendo en una línea, pero se desvanece claramente cuando se imagina que está haciendo zoom.

Answer 6

Nunca lo hace. Cuando está dando pasos, cada movimiento es hacia arriba o hacia arriba, nunca en diagonal. Por lo tanto, cuando sumas, siempre estás sumando tu movimiento ascendente (que siempre totalizará 1) con tu movimiento horizontal (que también siempre será igual a 1). Los pasos más pequeños te mantenían más cerca de la línea, pero no cambiaban tus indicaciones para caminar.

Answer 7

Suponiendo que un cuadrado unitario es un cuadrado con una longitud de cada lado igual a uno, el teorema de Pitágoras lo resuelve.
Si a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 yx es la longitud diagonal, entonces 1 ^ 2 + 1 ^ 2 = x ^ 2 para este cuadrado. Combina términos similares, y la nueva ecuación es 2 = x ^ 2. Toma la raíz cuadrada de ambos lados para obtener sqrt (2) = x.

Answer 8

[matemáticas] [/ matemáticas]
Se puede pensar que una persona que se mueve paso a paso hasta el infinito sigue una función de paso que se puede aproximar por la diagonal de un cuadrado a lo largo del movimiento. La unidad no es tan importante, pero los pasos se pueden tomar linealmente, en ese caso se mueve a lo largo de la línea recta y luego 1 + 1 = 2. Sin embargo, esto se limitará solo a los primeros dos pasos muy pequeños, si el movimiento es paso a paso.
De acuerdo con la naturaleza de una función de paso, se mueve a lo largo de un ángulo, y en este caso a lo largo de 45 * a lo largo de la diagonal. ahora entra en juego la famosa Regla de Pitágoras. La regla dice que si uno dibuja un cuadrado en la hipotenusa c, de un triángulo rectángulo ABC, entonces el área de ese cuadrado, c ** 2 es igual a la suma total de las áreas de cuadrados dibujadas en los otros dos lados, ayb del triángulo, donde ‘a’ es la perpendicular y la ‘b’ es la base del triángulo. En cualquier punto de la diagonal, dos perpendiculares a estos dos lados ayb darán el cuadrado completo cuando el movimiento sea a lo largo de esa diagonal. Entonces, c viene dada por la raíz cuadrada de la suma de cuadrados,
c = sq.rt. (a ** 2 + b ** 2) y, por lo tanto, c = sq.rt. (2)

Answer 9

Teorema de Pitágoro … supongo