Considere un cuadrado con vértices A (0,0), B (1,0), C (1,1) y D (0,1). Un punto dentro del cuadrado se une con (0,0) para obtener el segmento de línea AP, y otro se une con (1,0) para obtener el segmento de línea BQ. ¿Cuál es la probabilidad de que AP y BQ se crucen?

Answer 1

Infraestructura técnica de Quora : en primer lugar, hay algo mal con el soporte de Latex de Quora. Cuando una línea de código Latex excede un cierto tamaño, ya no analizará el código, aunque hay mucho espacio hasta el final de la línea. Es por eso que la línea con las integrales dobles se ve bastante fea.

Definamos [matemáticas] A: = \ {(x, y) \ in] 0,1 [^ 2: y <1-x \} [/ matemáticas] y [matemáticas] B: =] 0,1 [^ 2 \ barra diagonal inversa A [/ math]. Sea [math] P (x, y) _ {A, B} [/ math] la probabilidad de que las dos líneas se crucen para un punto dado [math] (x, y) \ en A [/ math] o [math ] (x, y) \ en B [/ matemáticas] respectivamente.

Si [matemática] (x, y) \ en A [/ matemática] entonces [matemática] P_A (x, y) = \ frac {xy} {2 (1-x)}. [/ Matemática] If [matemática] ( x, y) \ en B [/ math] luego [math] P_B (x, y) = 1- \ frac {y} {2} – \ frac {1-x} {2y}. [/ math]. Obtiene ambas expresiones con bastante facilidad simplemente calculando el área de 1 o 2 triángulos.

Ahora obtiene su probabilidad de intersección total al integrar sobre todos los puntos en [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas].
[mates] P = \ int \ limits_0 ^ 1 \ int \ limits_0 ^ {1-x} P_A (x, y) \ mathrm {d} y \ mathrm {d} x + \ int \ limits_0 ^ 1 \ int \ limits_ { 1-x} ^ {1} P_B (x, y) \ mathrm {d} y \ mathrm {d} x. [/ Math]

Calculando que (a mano) obtengo [matemática] P = \ frac {1} {4} [/ matemática] que muy bien puede ser falsa pero no he detectado ningún error.

EDITAR: No es tan bueno como la solución de Anders, pero parece ser correcto independientemente.

Answer 2

Ans) EDITAR: Uy, las ecuaciones de Tex no se compilaron … ¿hay alguna forma de mostrarlo correctamente?

Gracias a Anders, su comentario fue correcto y noté el error. Ahora creo que la solución necesita la aplicación de cálculo. Como la idea estaba en la dirección correcta, intentaré corregirla con la solución completa

Bueno, no tan elegante e intuitivo como la respuesta de Anders Kaseorg (ahora menos), una representación geométrica del problema nos permite ver la forma de responder

Los contornos de la solución son evidentes en la imagen a continuación (nuevamente, disculpas por las malas habilidades de dibujo)

La línea BC divide el cuadrado en dos triángulos, \ triangle CAB y \ triangle CDB respectivamente. El punto P puede estar en cualquiera de los triángulos con igual probabilidad.

Ahora considere el caso cuando el punto P está en \ triangle CAB. Entonces, si el punto Q se encuentra en la región sombreada (líneas azules), las dos líneas AP y BQ se intersectarán. El área del triángulo es \ frac {1} {2} xy con la condición x + y \ leq 1

Para calcular esta área esperada, el razonamiento es el siguiente. (No puedo pensar en un razonamiento más simple) Como xy = p describe una hipérbola, la probabilidad de xy \ leq p con x \ geq 0, y \ geq 0 y x + y \ leq 1 puede entenderse como proporcional al área bajo la curva delimitada dentro de la hipérbola y \ triangle CAB. La hipérbola toca la línea CB en \ begin {bmatrix} b & a \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {1+ \ sqrt {1-4p}} {2} & \ frac {1- \ sqrt {1-4p}} {2} \ end {bmatrix}

Ahora el área de interés es \ frac {1- \ sqrt [] {1-4p}} {2}
+ \ int_a ^ b \ frac {p} {x}

o \ frac {1- \ sqrt [] {1-4p}} {2} + p \ log \ frac {b} {a}

Por lo tanto, el cdf es 1+ \ sqrt {1-4p} + 2p \ log \ frac {1+ \ sqrt {1-4p}} {{1- \ sqrt {1-4p}
– \ frac {4} {\ sqrt {1-4x}} + 2 \ log \ frac {1+ \ sqrt {1-4p}} {{1- \ sqrt {1-4p}

El pdf correspondiente es 2 \ log \ frac {1+ \ sqrt {1-4p}} {{1- \ sqrt {1-4p}

Ahora el valor esperado donde y = \ frac {1} {4} es \ int_0 ^ y 2 p \ log \ frac {1+ \ sqrt {1-4p}} {1- \ sqrt {1-4p}} \, dp = \ frac {1} {12}

Cuando P está en ΔCDB, y si Q se encuentra en el área sombreada combinada (líneas azul y naranja), entonces las líneas AP y BQ se cruzan. Para encontrar el área esperada de la región sombreada, se divide en dos triángulos, con sombra azul y naranja respectivamente. Ahora \ triangle APC tiene un área de 1/2 * x, donde x + y \ geq 1 y 0 \ leq x \ geq 1 y 0 \ leq y \ geq 1

El valor esperado es x se calcula nuevamente con cdf de x ^ {2} y pdf de 2x

como \ int_0 ^ 1 2 x ^ {2} = \ frac {2} {3}, como E (x) = \ frac {2} {3}, el área esperada de \ triangle APC es \ frac {1} { 3}

Ahora para el otro segmento, por argumento simétrico como para el caso anterior cuando P está en \ triangle CAB, produce un área de 1/12.

Por lo tanto, la probabilidad total de que AP y BQ se crucen es ½ * 1/12 + 1/2 * (1/3 + 1/12) = 1/4

Answer 3

Los caminos poligonales [matemática] APC [/ matemática] y [matemática] BQD [/ matemática] se cruzan exactamente una vez. Por lo tanto, a menos que el punto de intersección sea [matemática] P [/ matemática] o [matemática] Q [/ matemática] (probabilidad 0), sucede exactamente uno de los siguientes:

1. [math] AP [/ math] y [math] BQ [/ math] se cruzan.
2. [math] BQ [/ math] y [math] CP [/ math] se cruzan.
3. [math] CP [/ math] y [math] DQ [/ math] se cruzan.
4. [math] DQ [/ math] y [math] AP [/ math] se cruzan.

Por simetría, todos suceden con la misma probabilidad [math] \ tfrac14 [/ math].

Answer 4

Deje que [matemática] P_1 [/ matemática] sea [matemática] P [/ matemática] en la región [matemática] 1-x y [/ matemáticas].

Deje [math] P_1 = (x_1, y_1) [/ math], si [math] Q [/ math] cae en la región [math] AP_1E_1D [/ math] luego [math] AP_1 [/ math] y [math] BQ [/ math] se cruzan, de lo contrario no lo hacen. El área [matemática] AP_1E_1D = AP_1D + P_1E_1D [/ matemática], donde [matemática] AP_1D = \ dfrac {x_1} {2} [/ matemática].

Deje [math] P_2 = (x_2, y_2) [/ math] ser el punto espejo de [math] P_1 [/ math] sobre [math] 1-x = y [/ math]. Ahora la intersección ocurre cuando [matemática] Q [/ matemática] cae en la región [matemática] AP_2E_2 = AP_2D-P_2E_2D [/ matemática], donde [matemática] AP_2D = \ dfrac {x_2} {2} [/ matemática]. Por simetría, es fácil ver que [matemática] P_1E_1D [/ matemática] y [matemática] P_2E_2D [/ matemática] son ​​congruentes y se cancelarán entre sí.

Cada punto en la región [matemática] 1-x y [/ matemática]. Entonces, la probabilidad de que [matemática] AP [/ matemática] se cruce [matemática] BQ [/ matemática] es [matemática] \ int_ {x = 0} ^ 1 \ dfrac {x} {2} dx = \ dfrac {1} { 4} [/ matemáticas].

Answer 5

Para que BQ se cruce con AP, la coordenada x de Q debe ser menor que la de P, y la coordenada y de Q debe ser mayor que la de P. Si se elige P al azar, entonces el valor esperado de sus coordenadas es (1/2, 1/2). Por lo tanto, la probabilidad de que la coordenada x de Q sea menor que la de P es 1/2, y que la coordenada y de Q sea mayor que la de P es 1/2, por lo que la probabilidad total es 1/4.