¡Esta respuesta realmente depende del reloj! ¿Consideraste el movimiento de la manecilla del reloj? Por ejemplo, ¿qué pasa si una manecilla de minutos se mueve solo de minuto a minuto? ¿Qué pasa si funciona cada 5 segundos, acercándose cada vez más al siguiente minuto? ¿Qué pasa si se mueve de manera continua y uniforme? Por supuesto, todo esto también está relacionado con la manecilla de la hora, ya que si la manecilla de los minutos se mueve continuamente mientras que la manecilla de la hora solo se sienta perfectamente en la marca de una hora, la manecilla de los minutos solo formará ángulos rectos con el manecilla de hora cuando la manecilla de minutos reside en un minuto (y no en el medio); A 15 minutos de donde se encuentra la aguja de la hora, para ser exactos.
Si ambos se movieran continuamente, tendrías una cantidad infinita de ángulos rectos. Esto se debe al hecho de que cada mano pasa continuamente por una cantidad infinita de puntos. Ejemplo:
3 horas, 29 minutos y 59 segundos.
3 horas, 29 minutos y 59,9 segundos.
3 horas, 29 minutos y 59,91 segundos.
3 horas, 29 minutos y 59.919 segundos.
3 horas, 29 minutos y 59.91999 segundos.
3 horas, 29 minutos y 59.9199932592839201 segundos.
Pero un movimiento de relojes depende de una oscilación constante (también conocida como mensurable) que no cambia. Un ejemplo es el seguimiento de un péndulo; el otro está utilizando la frecuencia de vibraciones en un material como el cuarzo cuando una corriente pasa a través de él [Cómo funcionan los relojes y relojes de cuarzo]. Y así, mientras la manecilla de un reloj se mueve a través de una cantidad infinita de puntos, nunca descansa sobre una cantidad infinita de puntos. Y creo que la clave para responder a esta pregunta de manera sensata es hacer algunas suposiciones sobre dónde descansa cada manecilla del reloj, y que solo hay un ángulo de interés de 90 grados cuando las manecillas del reloj están en reposo.
Aquí hay un reloj que forma un ángulo recto, como lo representa el ángulo theta ([math] \ theta [/ math].
[Fuente de la imagen: ángulos de reloj entre las manecillas de minutos y horas en ángulos rectos – Arnel Dy’s Math Corner]
De hecho, busqué en Google esa imagen y encontré una solución a través de una búsqueda de imágenes, por lo que un “FYI” Google es tu amigo:] En el sitio de ese autor, su solución no se encuentra por la forma en que personalmente elegiría abordar esto problema. Voy a darte un esquema para que puedas adaptarlo a tu propia velocidad de reloj y así que aquí está mi opinión:
¡Hagamos esto divertido!
Sin haber elegido un reloj específico y mirar la mecánica de ese reloj específico para encontrar su frecuencia de movimiento, las únicas suposiciones que me siento seguro son las siguientes:
1) El reloj se mueve no continuamente. Esto significa que el reloj “marca” o se mueve de un estado a otro. Nunca toca un punto entre dos puntos en el tiempo.
2) Cada estado, es decir, donde se encuentran las manecillas del reloj, existe en un segundo exacto en el tiempo.
De estos supuestos, puedo derivar un par de hechos muy útiles.
1) La manecilla de minutos se mueve 360 ° en 60 minutos = 3600 segundos .
[matemática] \ frac {360 °} {3600 segundos} = 0.1 ° [/ matemática] por segundo
2) La manecilla de la hora se mueve 360 ° en 12 horas = 720 minutos = 43200 segundos . Necesitamos tomar un minuto cauteloso (je je) para darnos cuenta de que esto nos da
[matemática] \ frac {360 °} {43200 segundos} = 0.008 \ overline {3} ° [/ matemática] por segundo
Si redondeamos a 0.00833, que “se siente” bastante cerca, en realidad nos encontraríamos con un pequeño problema.
[matemáticas] 0.00833 * 60 segundos * 60 minutos * 12 horas = 359.856 ° [/ matemáticas]
Esto significa que después de 12 horas, nuestra manecilla horaria en realidad no se movió 360 ° completos. Al perder 0.144 °, a razón de 0.00833 ° por segundo, perdimos 17.29 segundos en solo 12 horas; lo cual es extremadamente inaceptable.
Entonces, seremos exactos usando [math] \ frac {360} {43200} [/ math]
Entonces, cada segundo, la manecilla de minutos puede sentarse en incrementos de 0.1 °, mientras que la manecilla de hora puede sentarse en incrementos de [matemática] 0.008 \ overline {3} [/ matemática] °. NOTA: Si hubiera cambiado esto a minutos, el resultado sería muy diferente. Es por eso que originalmente dije que la solución dependerá del reloj.
Además, el ángulo correcto que buscamos se realizará cuando una mano esté a 90 ° de la otra.
Entonces, cada vez que pasa un minuto, mido la posición del reloj. Estoy interesado en UN resultado, cuando la diferencia entre los dos es igual a 90 °. En forma formulaica,
positina de la manecilla de minutos – posición de la manecilla de hora = 90 °
Entonces, ¿cómo determino la posición de estas manos? Bueno, el minutero se puede determinar (usando las reglas que acabo de hacer) tomando la cantidad de segundos que han pasado y multiplicándolo por 0.1 °. La manecilla de la hora, de manera similar, se determina por la misma cantidad de segundos pero multiplicada por [matemáticas] \ frac {360} {43200} [/ matemáticas] °. Si la diferencia entre los dos en un momento dado es de 90 grados, entonces tenemos un ángulo recto. Por lo tanto, queremos saber a qué hora, en segundos, s, las dos manos forman un ángulo de 90 °.
[matemáticas] | (s * 0.1 °) – (s * \ frac {360} {43200} °) | = 90 ° [/ matemáticas]
dónde
[matemáticas] 0 \ leq s \ leq 43200 [/ matemáticas] segundos
Otra cosa que debemos considerar es que a los 61 minutos, en lugar de que la manecilla de los minutos esté en el ángulo de 0.1 ° (en el minuto 1), en realidad está en un ángulo de 61 * 0.1 grados, que es 360.01 °. Esto puede considerarse 0.1 ° geométricamente, pero no algebraicamente; nuestras matemáticas no tomaron esto en cuenta para nosotros: [
Entonces, lo que debemos hacer es algo como lo siguiente:
[matemáticas] | (s * 0.1 °) – (s * \ frac {360} {43200} °) | = 90 ° [/ matemáticas]
dónde
[matemáticas] 0 \ leq s \ leq 43200 [/ matemáticas] segundos
y si
[matemáticas] m \ mod 3600 = 0 [/ matemáticas]
entonces
RESTABLECER LA MANO MINUTO!
¡Reajustamos la manecilla de minutos a 0 ° y comenzamos a contar nuevamente! La ecuación más anterior dice “m mod 3600”, que esencialmente dice que si 3600 entra en m sin resto (0), entonces reinicie la manecilla de minutos. Por lo tanto, cada vez que la manecilla de los minutos marca las 12 en punto (360 °, que es cada 3600 segundos), tenemos en cuenta que si bien la manecilla de la hora todavía está feliz, la manecilla de los minutos ha terminado 1 vuelta completa durante todo el día.
Por último, para más diversión, debemos darle a esto algún tipo de tolerancia de redondeo. Hice un pequeño programa que hace todos estos cálculos, así que tengo la oportunidad de saber de antemano que si calculo
[matemáticas] | (s * 0.1 °) – (s * \ frac {360} {43200} °) | = 90 ° [/ matemáticas]
dónde
[matemáticas] 0 \ leq s \ leq 43200 [/ matemáticas] segundos
Solo tendremos una solución. Pero si tengo que calcular la computadora
[matemáticas] || (s * 0.1 °) – (s * (360/43200) ° | – 90 ° |
donde r es una tolerancia de redondeo, puedo obtener más soluciones.
Escribí un pequeño programa que hace lo que estamos buscando aquí:
https://github.com/positivecharg …
Y a continuación se muestra una instantánea de dicho programa con una tolerancia de menos de 0.01 grados.
Nota: Si realmente conoce el grado de movimiento por hora y su reloj no se mueve uniformemente, sino que hace tictac de punto a punto, puede usar el programa que hice y aplicarlo a donde van los grados.
Nota: Algunos podrían preguntarse por qué usé el tiempo como mi restricción y apliqué una tolerancia de error al ángulo de grado, cuando en realidad estamos buscando un ángulo recto que sea un perfecto 90 °. La razón por la cual es porque ya abordé al principio que si vamos a preguntar “Oye, ¿en qué parte del reloj podemos hacer un ángulo recto?”, Podemos enfrentar una respuesta inteligente como “podemos usar el infinito cantidad de puntos en el reloj en sí y solo diga que hay una cantidad infinita de ángulos rectos que se deben hacer en un círculo “. Necesitamos definir puntos en los que las manecillas del reloj se detienen .