¿Cómo es útil la geometría proyectiva? Además de los gráficos, ¿para qué se puede usar?

Answer 1

Otra aplicación importante de la geometría proyectiva, que conozco, es en el estudio de las raíces de las ecuaciones polinómicas. Aquí, presentaré un ejemplo.
Dadas las ecuaciones de dos elipses distintas (un caso de dos ecuaciones polinómicas cuadráticas), ¿en cuántos puntos (número máximo de puntos) se intersectarán en general?
En 4 puntos, a la derecha.
Ahora tome ecuaciones de dos círculos distintos (de nuevo un caso de dos ecuaciones polinómicas cuadráticas), ¿en cuántos puntos (número máximo de puntos) se intersectarán en general? (Uno puede pensar en las dos elipse transformándose en círculos)
El teorema de Bezout dice que hay un máximo de 4 raíces nuevamente. ¡Pero nunca obtenemos 4 raíces cuando resolvemos estas ecuaciones! Obtenemos un máximo de dos raíces. ¿Dónde están las otras dos raíces? ¡Ni siquiera están en un plano complejo!
Las otras dos raíces están en el infinito. Aquí es donde la geometría proyectiva viene al rescate. En el marco de la geometría afín, no estamos equipados para manejar raíces en el infinito. Pero podemos ver estas raíces si transformamos nuestras coordenadas en un plano complejo proyectivo.
[math] (x, y) \ rightarrow (X: Y: W) [/ math], reemplazando [math] x \ rightarrow X / W, y \ rightarrow Y / W [/ math] en las ecuaciones. Obtenemos dos nuevas raíces como [math] (W: X: Y) = (0: i: 1) [/ math] y [math] (0: -i: 1) [/ math].
Aquí, [matemáticas] W = 0 [/ matemáticas] significa que están en el infinito cuando se ven en un marco geométrico afín.

Ahora puede preguntar que ¿cómo es esto útil? Bueno, observe que esas dos raíces para la intersección de los círculos siempre estarán en el infinito (siempre que los círculos sigan siendo círculos). Es muy útil saber cuándo se intenta resolver ecuaciones polinómicas complejas con coeficientes desconocidos (es decir, coeficientes como símbolos no sustituidos por números). Uno puede adivinar correctamente el límite en el número de raíces afines en el caso general solo a partir de la estructura de las ecuaciones sin conocer los coeficientes como números.

Answer 2

La geometría proyectiva es una terminación natural de la geometría afín, así como los números complejos son una terminación natural de los números reales. Para responder preguntas sobre geometría afín, a menudo es más fácil convertirlas en preguntas sobre geometría proyectiva, responder esa pregunta (ahora más natural) y luego recuperar la información relevante sobre el caso afín. De hecho, iría tan lejos como para decir que la mayoría de las aplicaciones de geometría proyectiva encajan en esta categoría.

Para una aplicación de geometría proyectiva que no solo se proyecta para obtener mejores propiedades matemáticas, puede considerar algo como esto: imagine que tiene algunas fotografías (bidimensionales) de una escena tridimensional, pero no tiene datos específicos sobre los ángulos de la cámara o lo que sea. Al determinar qué tipo de transformación proyectiva se lleva a cabo entre sí, puede descubrir las ubicaciones relativas de las cámaras y reconstruir la escena tridimensional a partir de esta información. Lo que significa que esa escena en la reciente película de Batman (anterior a Affleck) no está tan lejos de la realidad como podría pensar.

Answer 3

El teorema de Bézout es una gran motivación. En términos generales, dice que si tiene dos polinomios homogéneos con tres variables, entonces la intersección de sus loci en el plano proyectivo (dado que cuenta “con multiplicidades” y sobre los números complejos) es el producto de los grados de los polinomios .

Esto falla para el plano no proyectivo. Por ejemplo:
La intersección de los loci de yx ^ 2 con yx está en dos puntos.
La intersección de los loci de yx ^ 2 con y está en un punto, pero dos “con multiplicidad” (porque y = 0 es tangente a y = x ^ 2)
La intersección de los loci de yx ^ 2 con y + 1 está en 2 puntos, pero esos puntos son complejos.
Sin embargo, la intersección de los loci de yx ^ 2 y yx ^ 2 + 1 es 0 !!!

Si los homogeneiza, esto no sucederá: yz-x ^ 2 e yz-x ^ 2 + z ^ 2 se cruzan en 1 punto (el punto (0: 1: 0)), y contando con multiplicidad, en realidad son 2 puntos.