¿Cuál es la relación entre el área de superficie de una media esfera y el círculo que proyecta en el plano xy? El área de superficie de la media esfera es exactamente el doble que el área del círculo, ya que
el área de superficie de una esfera es [matemática] 4 \ pi r ^ {2} [/ matemática], el área de superficie de media esfera es [matemática] 2 \ pi r ^ {2} [/ matemática].
Por lo tanto, realmente solo tenemos que buscar la mejor manera de llenar un círculo, y tomar esa área y duplicarla para obtener el área de superficie de nuestras medias esferas.
Pero ya sabemos la respuesta, ¿no? La mejor manera de llenar un círculo de 10 pulgadas con círculos es usar un solo círculo de 10 pulgadas.
Es físicamente imposible llenar un círculo de 10 pulgadas con círculos cada vez más pequeños, ya que eso requeriría un número infinito. E incluso si lo hiciéramos, el área total de esos círculos se acercaría al área total del círculo en sí [math] \ pi r ^ {2} [/ math], que cuando lo duplicamos, hace que el área de superficie sea una mitad -esfera.
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {N} c_ {i} <\ pi r ^ {2} [/ matemáticas]
donde cada [matemática] c_ {i} [/ matemática] de 1 a N es un círculo pequeño que está dentro del círculo grande y no se superponen dos [matemática] c_ {i} [/ matemática].
Así
[matemáticas] 2 \ sum_ {i = 1} ^ {N} c_ {i} = \ sum_ {i = 1} ^ {N} 2 c_ {i} <2 \ pi r ^ {2} [/ matemáticas]
lo que significa que el área de superficie total de todas esas pequeñas medias esferas es menor que el área de superficie de la única media esfera grande.
Para hacerlo más simple: un círculo siempre contendrá cualquier disposición de un número finito de círculos más pequeños y, por lo tanto, siempre será mayor. Si el número de círculos más pequeños fuera literalmente infinito, entonces el área total de esos círculos más pequeños sería exactamente igual al área del círculo.
Cada círculo es una proyección de una media esfera en el plano xy. Para encontrar el área de superficie, simplemente multiplique el área del círculo por 2. No cambia la relación entre el círculo grande y los círculos pequeños infinitos que contiene.
SHAZAM !!!