¿Por qué los grupos hiperbólicos tienen curvatura negativa?

La curvatura corresponde a 1 / r², donde r se mide con un acorde euclidiano.

Si toma un círculo 1 a través de O, y luego un círculo 2 centrado en O, y tiene un radio igual al diámetro del círculo 1, puede formar un triángulo de d1: d1: d2. Pones d2 = a. d1. A partir de esto, puede encontrar que D² = 4d1² / (4-a²) es el ‘diámetro del espacio’.

La geometría hiperbólica ocurre cuando a²> 4

La razón por la que se llama curvatura negativa, es que el área de un triángulo se puede encontrar de la misma manera que para una esfera, pero como un defecto, en lugar de un excedente. Entonces, puede tener un triángulo de ángulos 90, 60, 20, (que es la simetría de [3,9]), da 180-90-60-20 = defecto de 10 grados.

Un triángulo de ángulos 60, 60, 20 (o [3,3,9:], da un defecto de 40 grados, que es cuatro veces el triángulo anterior. Se puede ver por la simetría del primero que cuatro copias del mismo Haz una copia de este triángulo.