Sin comprobarlo, muchas personas creen que una piedra caída desde una torre describe una parábola. ¿Cuál es la verdadera forma de la curva?

Answer 1

Para un objeto en caída libre en la tierra, podemos usar la Segunda ley de Newton para examinar su dinámica:

[matemáticas] m \ frac {d ^ 2 \ vec {r} (t)} {dt ^ 2} = m \ vec g [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {d ^ 2 \ vec {r} (t)} {dt ^ 2} = \ vec g [/ matemáticas]

Donde [math] \ vec {r} (t) [/ math] es la posición de [math] g = -9.81 \ hat {y} \ frac {m} {s ^ 2} [/ math], suponiendo que sistema de coordenadas donde la coordenada y apunta hacia arriba desde el suelo y la coordenada x es perpendicular al eje y y apunta hacia la derecha.

Por lo tanto, las ecuaciones diferenciales para los componentes individuales son:
[matemáticas] m \ frac {d ^ 2 x (t)} {dt ^ 2} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] m \ frac {d ^ 2 y (t)} {dt ^ 2} = – g [/ matemáticas]

Estas ecuaciones diferenciales tienen la solución [matemáticas] (v_ {ix} t + h_x, – {1} {2} gt ^ 2 + v_ {iy} t + h_y) [/ matemáticas], suponiendo que [matemáticas] (v_ { ix}, v_ {iy}) [/ math] es la velocidad inicial y [math] (h_x, h_y) [/ math] es la velocidad inicial. [math] (v_ {ix} t + h_x, – \ frac {1} {2} gt ^ 2 + v_ {iy} t + h_y) [/ math] parametriza una parábola.

Si agregamos un término de fricción aérea, es un poco más desagradable:
[matemática] m \ frac {d ^ 2 x (t)} {dt ^ 2} = – \ frac {k} {m} \ frac {dx} {dt} [/ matemática]
[matemática] m \ frac {d ^ 2 y (t)} {dt ^ 2} = – g- \ frac {k} {m} \ frac {dy} {dt} [/ math]

La solución a esto no parametriza una parábola, pero la curva que sí parametriza se parece a una parábola y se acerca a una parábola a medida que k se hace más pequeña; sin embargo, a medida que el tiempo aumenta, la curva se endereza.

Cuando tiene en cuenta la rotación de la Tierra, todo lo que hace es cambiar el valor inicial de la velocidad y, dependiendo de la orientación de sus ejes, le da un componente z por el que preocuparse. Con una coordenada z cambiante, la curva no es una parábola, pero su proyección en el plano xy sí (a menos que también tenga en cuenta la resistencia del aire).

Answer 2

Caída de una torre, la trayectoria de una piedra es una línea recta. Si se lanza con una velocidad no vertical, entonces describe una parábola. No hay nada que creer allí: calcule la trayectoria suponiendo una aceleración constante y puede ver que el desplazamiento horizontal se vuelve cuadrático con vertical.

Pero, por supuesto, ese es solo el modelo simplificado. Vi un comentario sobre una respuesta que mencionaba la rotación de la tierra, es insignificante y puede resolverse suponiendo una rotación rígida del cuerpo para la tierra y la torre, pero no es tan importante como las fuerzas aerodinámicas. Si quería una solución exacta, con precisión arbitraria, entonces no creo que todas las computadoras del mundo puedan resolver el flujo alrededor de una piedra.

Answer 3

Estoy un poco confundido acerca de todas estas respuestas. Parecen indicar que la rotación de la Tierra haría que la caída sea parabólica. Sin embargo, dado que la bola se cae desde una torre alta que presumiblemente está conectada a la Tierra, ¿no tendría la misma inercia rotacional que la Tierra cuando se ve desde un marco de referencia en el espacio de modo que la Tierra estuviera estacionaria? Eso significaría que, en relación con la Tierra, la bola debería caer directamente hacia abajo. Desde el marco de referencia externo, sin embargo, la caída sería una parábola.

Answer 4

La derivación de “trayectoria parabólica” supone que la fuerza del campo gravitacional es constante. Por supuesto, esto no es cierto, aunque para una buena aproximación es cierto cerca de la superficie de la tierra. Si calcula la respuesta teniendo en cuenta la ley gravitacional del cuadrado inverso, encontrará que la piedra traza una parte de una elipse.

Answer 5

Cuando la piedra comienza a caer de la torre, tanto la piedra como la base de la torre tienen la misma velocidad angular pero no la velocidad lineal debido a las diferentes alturas (es decir, la distancia desde el centro de la Tierra). Esto significa que, a medida que la piedra cae, su altura se vuelve más pequeña, lo que implica que su velocidad angular con respecto a la base de la torre aumenta (no hay fricción, por lo que la velocidad lineal tangente a la tierra permanece igual). Esto a su vez implica que la piedra no se prestará en línea recta en la base de la torre. Lo más probable es que la trayectoria sea una parábola, ya que la velocidad lineal depende de la aceleración de la gravedad de la Tierra (por probar).

Answer 6

Técnicamente, el movimiento es a lo largo de una elipse con el centro de la tierra en un foco.

Una parábola es la aproximación a la elipse a medida que el centro de la tierra llega al infinito. Para la mayoría de los objetos que caen en la superficie de la tierra, el centro de la tierra está bastante lejos, por lo que es una buena aproximación.

Answer 7

La forma de la ubicación en función del tiempo es una parábola. Si la piedra se dejó caer desde una altura H, a una velocidad inicial V con el eje Y apuntando hacia arriba, la función de ubicación es:

y = H + Vt + 0.5gt ^ 2

Que es una función cuadrática de t, y por lo tanto tiene un gráfico parabólico.

Answer 8

Si trazas la altura contra el tiempo, es una parábola.