¿Por qué interpretamos el círculo inscrito en el plano de Fano como una línea?

Answer 1

Solo para que conste, aquí hay otra representación del avión Fano:

Puntos: 1 2 3 4 5 6 7
Líneas: ABCDEFG

Líneas que pasan por cada punto:
1: A, B, F
2: B, C, G
3: B, D, E
4: D, F, G
5: C, E, F
6: A, E, G
7: A, C, D

Puntos en cada línea:
A: 1, 6, 7
B: 1, 2, 3
C: 2, 5, 7
D: 3, 4, 7
E: 3, 5, 6
F: 1, 4, 5
G: 2, 4, 6

Este es quizás el menos esclarecedor, pero debería dejar en claro que esto es todo lo que hay: un conjunto de cosas abstractas que llamamos “puntos”, y otro conjunto de cosas abstractas que llamamos “líneas”, de modo que a través de cada dos puntos hay es exactamente una línea, en cada dos líneas hay exactamente un punto en común (y existen cuatro puntos de tal manera que no hay tres en la misma línea). Ver geometría finita.

La “representación” anterior se basa en la siguiente representación: Archivo: Fano plane-Levi graph.svg

Answer 2

La representación del avión Fano por el que preguntas es la siguiente:
Esa es solo una representación del avión. Es una buena representación porque es fácil de dibujar. Enfatiza algunas de las simetrías del plano Fano, pero desestima otros. Además, hace que parezca que un punto (en el centro) y una línea (el círculo) son especiales cuando no lo son.

Hay otras representaciones como

Fuente: no entiendo las simetrías del avión Fano

Este es bueno ya que muestra la simetría de 7 veces y trata todos los puntos y líneas por igual. Desafortunadamente, no muestra las simetrías triples.

Ambas son solo representaciones que nos permiten visualizar el plano Fano.

Antecedentes: el plano Fano es el único plano proyectivo finito de orden 2. Es una configuración que consta de 7 cosas llamadas puntos y 7 cosas llamadas líneas junto con una relación de incidencia de manera que cada dos puntos distintos inciden exactamente en una línea, y cada dos líneas distintas son incidentes a exactamente un punto.