¿Por qué un cuadrado con la misma cantidad de unidades laterales dará más unidades de área que un rectángulo con la misma cantidad de unidades laterales, cuando no se han agregado más unidades laterales?

Answer 1

Te daré dos respuestas, una algebraica, una geométrica.

Si tiene un rectángulo con un perímetro de 20, el área debe ser a = w (10-w) o a = 10w – w ^ 2 donde w es el ancho del rectángulo. Como has descubierto, esto puede tomar diferentes valores, dependiendo del ancho.

3 (7) = 21 5 (5) = 25 1 (9) = 9

¿Cuál es el valor más alto posible para esta área? Usando álgebra o cálculo, descubres que el máximo / mínimo de cualquier parábola se encuentra donde x = -b / 2a. En este caso, es w = 10/2 = 5. Entonces, el área máxima es cuando el ancho es 5 (y, por lo tanto, la longitud es 5 y tienes un cuadrado). Esto sucederá sin importar el perímetro que elijas.

Ahora una respuesta geométrica. Imagina 9 cuadrados de 1 × 1 alineados. ¿Cuáles son las dimensiones de este rectángulo? 1 × 9, con un perímetro de 20. Ahora, en cambio, haga un 2 × 8. Casi hemos duplicado nuestra área (de 9 a 16, ¡hemos agregado 7 casillas!). Hiciste una fila completamente nueva y apenas acortaste las filas. Pero a medida que avanza, tendrá que acortar más filas para hacer su nueva.

Imagina que tienes un 5 × 5. Si desea convertirlo en 6 × 4, está acortando 5 filas por 1, para formar una fila de 4. Comienza a perder área en lugar de ganarla. Entonces el cuadrado maximiza el área que puede ocupar un rectángulo de 20 perímetros.

Answer 2

Gracias por el A2A.

Vamos a investigar Supongamos que tenemos un cuadrado de 2 × 2.

El perímetro es 8 y el área es 4. Supongamos que queremos encontrar un rectángulo con la misma área. Podríamos cortar el cuadrado por la mitad a lo largo de la línea negra:

Y reorganizar:

Observe que ganamos 4 unidades de perímetro en negro y perdimos 2 unidades en naranja para un aumento neto de 2. El perímetro ahora es 10, pero el área sigue siendo 4. ¿Por qué aumentó el perímetro cuando alargamos el rectángulo mientras mantenemos su área? ¿constante? Tuvimos que exponer parte del perímetro que solía estar oculto dentro de la figura. La razón por la que el cuadrado tiene el menor perímetro para un área determinada es porque “absorbe” el exceso de perímetro. Resulta que podemos hacerlo incluso mejor que un cuadrado si los lados no tienen que ser rectos. Los círculos tienen el perímetro mínimo para un área determinada de cualquier figura plana:

Answer 3

Aquí hay una manera fácil de visualizarlo. Tome la imagen a su izquierda como su rectángulo. Se puede reorganizar para dar la misma área y perímetro moviendo algunas partes para dar la imagen de la derecha. Podemos ver que la sangría en el lado inferior derecho de la imagen derecha se puede “desplegar” para formar un cuadrado y darle un área mayor.
** para el rectángulo (a, b) donde a a esto será mayor que ab

Answer 4

Digamos que tenemos un cuadrado con longitud de lado x. Entonces la circunferencia K = 4x.

Ahora, si queremos mantener K fijo y crear un rectángulo, por ejemplo, podemos aumentar la altura del cuadrado con c, por lo que obtenemos (x + c) en dos lados del rectángulo.

Pero luego también tenemos que disminuir el ancho con la misma cantidad c, por lo que los otros dos lados del rectángulo son (xc).

Verificamos que K sigue siendo el mismo: K = 2 (xc) + 2 (x + c) = 2x – 2c + 2x + 2c = 4x. Bien, bien, sigue siendo lo mismo. Al elegir diferentes c, podemos crear todos los rectángulos con circunferencia K.

Entonces, ¿cuál es el área del cuadrado? Naturalmente, es x². ¿Cuál es el área del rectángulo? Bueno, es el producto de sus lados: (xc) (x + c) = x² – c².

Como c es un número real, tenemos que x² – c²

Answer 5

si a + b = c (constante), entonces ab es máximo cuando a = b = c / 2. Puedes ver esto gráficamente o por cálculo.