¿Puedes encontrar el volumen de este cubo holey?

Answer 1

He abordado este problema al encontrar el volumen de la cavidad en el cubo y luego restarlo de 64 cc.

Este es un método de no cálculo y si alguno de los antiguos matemáticos lo resolviera, así es como lo habrían hecho. Arquímedes debe haberse acercado mucho, pero no hay constancia de que haya resuelto este problema.

La cavidad es efectivamente 3 cilindros de intersección con radio de 1.5 cm. Lo primero que debe hacer es seccionar las partes no intersectantes de los cilindros. Estos son simplemente 6 cilindros poco profundos con una altura de 0,5 cm. Su volumen es por lo tanto:

6 x pi x (1.5) ^ 2 x 0.5 cc que es igual a

21.20575041 cc

Los 3 cilindros de intersección son, por supuesto, la parte difícil. El volumen viene dado por la fórmula derivada:

V = 4r ^ 3 [3.pi / 4 + sqrt (2) / 2 – (3.pi.sqrt (2)) / 8 + 1/2]… (1)

Con r = 1.5 esto se convierte en

25.61247228 cc

Ahora agregue el volumen de los 6 cilindros poco profundos y el volumen se convierte en:

46.81822269 cc

El volumen del material restante en la forma dada en el diagrama es por lo tanto

64 – 46.81822269, que equivale a:

17.18177731 cc

Editar: 21/9/17: ¿No hay nadie por ahí, quién tiene curiosidad por cómo se deriva la fórmula en (1)?

Answer 2

Es posible, pero necesitará geometría y cálculo de coordenadas 3D.

Deje que el centro geométrico del cubo esté en el origen (0,0,0). Deje que las caras sean paralelas a los planos xy, yz y zx.

Las caras del cubo son entonces z = L / 2, z = -L / 2, -L / 2 <= x, y <= L / 2

Del mismo modo para las otras caras

El cilindro con su eje orientado a lo largo del eje z y cortando las caras del cubo será [matemático] x ^ {2} + y ^ {2} = \ frac {D ^ {2}} {4} [/ matemático], z = L / 2, z = -L / 2

Del mismo modo para los otros dos cilindros.

Necesitará un volumen integral sobre la superficie combinada de los tres cilindros.

Resta este volumen de [math] L ^ {3} [/ math], el volumen del cubo.