¿Puedo interpolar entre dos matrices de 3 por 3 que representan transformaciones afines de una forma 2D?

Answer 1

Si quiere construir una matriz que requiere un parámetro de tiempo definido como [matemática] A_t = (1-t) A_0 + tA_0 [/ matemática], entonces la respuesta es “no”. Si, en cambio, interpola los parámetros de la matriz con [math] x_t = (1-t) x_0 + tx_1 [/ math], entonces la respuesta es “sí”.

Asumiré que sus puntos en 2 espacios se representan en la forma estándar (x, y, 1), como vectores de columna, donde se proporciona el 1 para permitir que la transformación afín de 2 espacios se represente como un 3- transformación lineal del espacio Esto significa que su factorización de la transformación afín se verá así:
[matemáticas]
T_ {h, k} \ circ
R_ \ theta \ circ
D_ \ lambda = [/ matemática] [matemática]
\ begin {pmatrix} 1 & 0 & h \\ 0 & 1 & k \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} \ cos {\ theta} & – \ sin {\ theta} & 0 \\ \ sin {\ theta} & \ cos { \ theta} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}
\ begin {pmatrix} \ lambda & 0 & 0 \\ 0 & \ lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix} [/ math], donde [math] h, k \ geq 0 [/ math] y [math] \ lambda> 0 [/ matemática].

Para la interpolación en los coeficientes de la matriz, tome por ejemplo la transformación trivial [matemática] A_ {0} = 1_ {3} [/ matemática] y la rotación por π, [matemática] A_1 = \ left (\ begin {smallmatrix } -1 y 0 y 0 \\ 0 y -1 y 0 \\ 0 y 0 y 1 \ end {smallmatrix} \ right) [/ math].
Luego, en el momento [math] t = 1/2 [/ math], tenemos [math] A_t = \ left (\ begin {smallmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {smallmatrix} \ derecha) [/ math] que es un bloqueo de cardán del peor tipo.

Por otro lado, si en cambio interpola en [math] h, k, \ theta, \ text {y} \ lambda [/ math], los factores resultantes en la factorización anterior son todos invertibles, lo que garantiza que el producto sea de rango máximo.