¿La relatividad especial involucra geometría no euclidiana?

Las tres dimensiones espaciales en SR son euclidianas en que puede encontrar fácilmente un sistema de coordenadas (coordenadas cartesianas, con ejes rectos en ángulos rectos) para que el teorema de Pitágoro se aplique a la longitud de un vector [matemáticas] l = (\ Delta x, \ Delta y, \ Delta z) [/ math] en términos de coordenadas:

[matemáticas] l ^ 2 = \ Delta x ^ 2 + \ Delta y ^ 2 + \ Delta z ^ 2 [/ matemáticas]

Y si tiene otro sistema de coordenadas cartesianas (x ‘, y’, z ‘) girado con respecto al primero, se aplica la misma fórmula. (Si hay alguna ventaja compensatoria, siempre puede usar otros sistemas de coordenadas como polar o cilíndrico, lo que le dificultará la vida en el departamento de distancia, por ejemplo, la fórmula de distancia para coordenadas polares, pero nunca se ve obligado a hacerlo y a todos los elementales las discusiones sobre SR asumen tácitamente coordenadas cartesianas).

Sin embargo, el espacio-tiempo en su conjunto no es euclidiano, porque aunque existe una medida de distancia natural “intervalo de espacio-tiempo” que combina coordenadas de tiempo y espacio, el tiempo contribuye de manera opuesta, y hay dos sabores dependiendo de si el tiempo o el espacio dominan:

[matemáticas] c ^ 2 \ tau ^ 2 = c ^ 2 \ Delta t ^ 2- \ Delta x ^ 2- \ Delta y ^ 2- \ Delta z ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] s ^ 2 = \ Delta x ^ 2 + \ Delta y ^ 2 + \ Delta z ^ 2-c ^ 2 \ Delta t ^ 2 [/ matemáticas]

Es decir, el espacio-tiempo tiene una firma métrica de (-, +, +, +) en lugar de (+, +, +, +). Estas son medidas naturales en ese

(i) el intervalo espacio-tiempo “temporal” [matemática] \ tau [/ matemática] es lo que miden los relojes. Aunque a menudo los describimos de esa manera, no son pésimas medidas de t que exhiben dilatación del tiempo, son pequeños odómetros perfectos que suman [math] \ tau [/ math] a lo largo de su camino.

(ii) el intervalo espacio-tiempo “similar a un espacio” s es lo que miden las reglas. Si conecta dos eventos en la historia con una regla (haga que el extremo izquierdo de la regla pase por el evento izquierdo y el extremo derecho pase por el evento derecho, sin importar si los dos eventos son “al mismo tiempo” o no), s es la longitud restante de la regla. Puede unir los eventos de diferentes maneras con reglas que se mueven a diferentes velocidades con diferentes cantidades de “contracción de longitud”, pero si luego lleva suavemente a todas las reglas a una velocidad común, todas tendrán una longitud común.

Tenga en cuenta que estas fórmulas suponen que la coordenada de tiempo del marco de medición se ha configurado utilizando la sincronización de Einstein, que es el equivalente del eje de tiempo que está “en ángulo recto” con los demás. No tiene que usar absolutamente la sincronización de Einstein, pero si no lo hace, la vida en el departamento de intervalos espacio-tiempo es muy difícil, por lo que todas las discusiones elementales suponen tácitamente que lo hace. Sin embargo, en GR, donde el espacio-tiempo subyacente puede deformarse, no tienes ese lujo (imagina tratar de diseñar coordenadas cartesianas en una esfera; solo puedes hacerlo aproximadamente, en pequeños parches), así que tienes que aprender un nuevo conjunto de matemáticas para hacer frente, lo que resulta conveniente si realmente, realmente necesita hacer SR en marcos acelerados.

Sí, la relatividad especial sigue la geometría euclidiana en el sentido de que el espacio de Minkowski es un espacio pseudoeuclidiano (al igual que la contabilidad general de espacio-tiempo para la gravitación es un espacio pseudo-riemanniano).

Para obtener más información sobre esto, vea ¿Cómo le explicaría a un matemático que no tiene experiencia en física por qué en la relatividad el espacio-tiempo es solo una variedad pseudo-Riemanniana en lugar de una variedad Riemanniana?