¿Por qué no puedes construir un poliedro solo con hexágonos?

Answer 1

El ángulo de un hexágono regular es de 120 grados. De hecho, los ángulos de cualquier hexágono tienen que sumar 720, por lo que algunos inevitablemente serían iguales o mayores a 120 grados.
El número mínimo de polígonos reunidos en la esquina de un poliedro es tres. Sus ángulos totales deben sumar menos de 360 ​​grados, para crear una esquina convexa. Puedes ver esto cortando una serie de polígonos que se encuentran en una esquina y doblándolos. Este, por ejemplo, es el conjunto de pentágonos conectados que forman un dodecaedro (se muestra con pestañas para pegar al borde adyacente. Sin el espacio (de 360- (3 x 108) = 36 grados para cerrarse, el poliedro no se cerraría) curva redonda para hacer un objeto sólido.

Una serie de hexágonos, de tres a un vértice, es plana, ya que 3 × 120 exactamente = 360 (un círculo completo).
Hay muchos otros conjuntos de formas que no forman poliedros. Cuatro cuadrados a una esquina, o seis triángulos equiláteros a una esquina no lo harán por la misma razón; Los ángulos suman 360 grados.
Existen otras combinaciones en las que la suma de los ángulos es inferior a 360, pero un poliedro sigue siendo imposible. Considere dos pentágonos y un hexágono en cada esquina. Los ángulos son finos (2 x 108) +120 = 336 grados <360; pero para tener un hexágono y dos pentágonos en cada esquina, los polígonos adyacentes a un pentágono en particular tendrían que ser pentágono y hexágono alternativamente. Esto no se puede hacer, ya que el pentágono tiene un número impar de lados.

Answer 2

Usted puede
Poliedro Szilassi
Es un poliedro toroidal con exactamente 7 caras, todas ellas hexágonos irregulares.

Tengo una pregunta abierta donde desafío a las personas a encontrar otro ejemplo,
pero con 8 hexágonos.
¿Puedes construir un poliedro con exactamente 8 caras, cada una de ellas un hexágono irregular?

Te estás restringiendo a los poliedros convexos (lo que implica el género 0), y también parece que te estás restringiendo a 3 poliedros en un vértice.

Dadas esas restricciones, puede usar la ecuación de Euler …

f – e + v = 2 – 2g (donde g es género)

En su caso g = 0, entonces obtenemos …

f – e + v = 2

f = f_3 + f_4 + f_5 + f_6 + … donde f_n es el número de caras de n lados.

e = (1/2) (3 * f_3 + 4 * f_4 + 5 * f_5 + 6 * f_6 + …)

v = (1/3) (3 * f_3 + 4 * f_4 + 5 * f_5 + 6 * f_6 +…) // restringido a valencia 3 vértices

(f_3 + f_4 + f_5 + f_6 +…) – (1/6) (3 * f_3 + 4 * f_4 + 5 * f_5 + 6 * f_6) = 2

3 * f_3 + 2 * f_4 + 1 * f_5 + 0 * f_6 + (-1) * f_7 +… = 12

Ahora ve los 12? También tenga en cuenta el “0 * f_6” anterior. El número de hexágonos es
no va a importar porque los hexágonos no contribuyen a la curvatura general en un poliedro del género 0. (Eso es porque los hexágonos embaldosan el avión).

También te estás restringiendo a hexágonos y pentágonos, así que obtenemos

f_5 = 12, que coincide con su observación sobre la necesidad de 12 pentágonos.

Si agrega algunos triángulos o cuadrados, necesitará menos pentágonos, y si agrega algunos heptagones u octágonos, etc., necesitará más pentágonos, cuadrados o triángulos.