¿Cuál es una forma intuitiva de conocer el valor (y especialmente el significado) de tangentes, senos y cosenos de ángulos?

Para conocer el significado intuitivamente, recomendaría comprender los orígenes de las funciones trigonométricas.

La respuesta de Pranshu Bhatnagar a las Matemáticas: ¿Cuáles son las funciones trigonométricas? ¿Qué quieren decir?

El seno proviene del latín Sinus , que significa una curva o abismo, o el seno de una prenda. (Conocemos la palabra por su significado anatómico: las cavidades o bahías en los huesos faciales y por los nombres de algunas “bahías” en la luna.) El término se usó como una traducción para la palabra árabe “jayb”, la palabra para un seno que también significaba el seno de una prenda, y que a su vez proviene de la palabra sánscrita “jiva” que significa una cuerda de arco.
La palabra se aplicó originalmente al segmento de línea CD en la figura: la mitad del acorde del doble del ángulo AOB. Puedes ver cómo esto podría llamarse una “cuerda de arco”. La relación del seno CD con respecto al radio del círculo, OA, es el seno del ángulo AOB.

La tangente proviene del latín Tangens , el participio presente de la tangere , “tocar”. En otras palabras, significa “tocar”. Originalmente se aplicó al segmento de línea AB en la figura: el segmento de la tangente al círculo en A que está cortado por la extensión de OB. La relación de la tangente AB al radio del círculo, OA, es la tangente del ángulo AOB.

Secante proviene del latín secans , el participio presente de secare , “cortar”. En otras palabras, significa “cortar”. Originalmente se aplicó al segmento de línea OB en la figura: la línea que corta la tangente. La relación entre la secante OB y ​​el radio OA es la secante del ángulo AOB.

Originalmente, el coseno se escribió “co-seno”, abreviatura de Complementi sinus : el seno del complemento. El coseno del ángulo AOB es el seno del ángulo complementario (ABO en la figura).

Del mismo modo, Cotangente y Cosecante son la tangente y la secante respectivamente del ángulo complementario.

Ahora aplique esto para recordar algunos valores de las funciones trigonométricas.

Supongo que conoce la derivación de algunos ángulos comunes; de lo contrario, eche un vistazo a Funciones de ángulos especiales.

Ahora, si conoce el valor del seno de todos los ángulos desde cero hasta \ frac {\ pi} {2}
Puede encontrar sus ángulos de complemento y, por lo tanto, sus cosenos posteriores. Encuentre la razón del seno al coseno para encontrar el valor de la tangente en ese ángulo.

La perspectiva que me parece más intuitiva es cuando la miras a través del Triángulo de ángulo recto (RAT). Dibuje una RAT, coloque el ángulo de interés en uno de los ángulos no rectos y observe la relación entre las longitudes de los bordes del triángulo.

Si aumenta el ángulo, qué sube, qué baja y cómo, etc.
Pero básicamente es solo la relación de los bordes, y se define solo por ángulos. Duplique todos los bordes y la proporción se mantiene igual.

Esto solo funciona para ángulos en el intervalo (0, 90 grados). Quizás alguien más pueda proporcionar un enfoque más intuitivo para aquellos que no pertenecen allí, pero siempre puede confiar en la simetría. 😀