¿Cómo demostrar que para un triángulo isósceles en ángulo recto ABC, donde la hipotenusa AB y la bisectriz AD de <BAC, cortan BC en D? ¿Puedes probar AC + CD = AB

Answer 1

Cuando me pidieron por primera vez que respondiera esta pregunta, tenía muchas opciones. Pero mientras miraba las respuestas ya publicadas aquí, me preguntaba si hay alguna otra forma en que pueda hacerlo. He estado fuera de contacto con la geometría durante mucho tiempo. Tomó mucho tiempo, pero logré salir con un enfoque.

Teorema de la bisectriz interna: la bisectriz interna de cualquier ángulo de un triángulo divide el lado opuesto de ese ángulo en una relación que es igual a la relación de los otros dos lados, en el orden correcto de correspondencia.

Entonces deberíamos tener

[matemáticas] \ dfrac {AC} {AB} = \ dfrac {CD} {DB} = \ dfrac {\ text {lado del triángulo ACD}} {\ text {lado del triángulo ADB}} [/ math]

[matemáticas] \ sin 45 ^ {\ circ} = \ dfrac {AC} {AB} = \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] AC = BC = CD + DB [/ matemáticas]

Usando Pitágoras

[matemáticas] AB ^ 2 = AC ^ 2 + BC ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica AB = \ sqrt {2} AC = \ sqrt {2} BC [/ matemáticas]

---

[matemáticas] \ dfrac {CD} {DB} = \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica DB = \ sqrt {2} CD [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {AC} {AB} = \ dfrac {CD} {DB} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {BC} {AB} = \ dfrac {CD} {DB} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {CD + DB} {AB} = \ dfrac {CD} {DB} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {CD + DB} {CD} = \ dfrac {AB} {DB} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 1+ \ dfrac {DB} {CD} = \ dfrac {AB} {DB} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 1+ \ dfrac {\ sqrt {2} CD} {CD} = \ dfrac {AB} {\ sqrt {2} CD} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 1+ \ sqrt {2} = \ dfrac {AB} {\ sqrt {2} CD} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica AB = \ sqrt {2} CD + 2CD ……… [i] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ sqrt {2} AC = \ sqrt {2} CD + 2CD [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica AC = CD + \ sqrt {2} CD [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica AC + CD = CD + \ sqrt {2} CD + CD ……… [ii] [/ matemáticas]

Comparando [matemáticas] [i] [/ matemáticas] y [matemáticas] [ii] [/ matemáticas]

[matemáticas] AB = AC + CD [/ matemáticas]

Answer 2

Simplemente por la propiedad de la bisectriz angular
CD / DB = AC / AB = 1 / raíz cuadrada. (2) (el ángulo será de 45 grados)
también como AC = CB
entonces AC = CD + DB (rompiendo cb)
entonces AC = AB / raíz cuadrada (2)
CD = AC / (raíz cuadrada (2) +1)
resolviendo abv 2
AC + CD = AA

Answer 3

gracias por A2A

mi primer intento habría sido la bisectriz angular dividiendo BC en proporción de AC y AB, pero puedes ver ese enfoque en la respuesta de Rivu Chawla

Entonces te daré otra solución

Vamos a usar la trignometría

no es difícil ver que un

y encuentras bronceado ( Fórmulas de doble ángulo y medio ángulo

// ir a la sección Tangente de medio ángulo
// espero que el enlace no muera antes de abrirlo
Sin embargo, la fórmula que puedes usar es
tan (B / 2) = (1 – cos B) / sin B = sin B / (1 + cos B)

entonces podemos encontrar que tan (

entonces CD = (root (2) -1) AC
– agregue CA a ambos lados
AC + CD = (raíz (2) – 1) AC + AC
AC + CD = raíz (2) * AC

como es un triángulo rectángulo isósceles

raíz (2) * AC = AB
// El teorema de Pitágoras puede ayudar a obtener esto o pecado (45 grados)

por lo tanto
AC + CD = AB

// espero que ayude

Answer 4

Aquí hay una prueba geométrica simple si te importa ese tipo de cosas.
Tenemos [matemática] AE = AB [/ matemática] por construcción. Por lo tanto, [math] \ bigtriangleup BDE [/ math] es isósceles (mediana [math] DF \ perp BE [/ math]).

Encontramos eso

[matemática] \ angle AEB = \ angle ABE = 67.5 ^ 0 [/ math], y

[matemáticas] \ angle DBE = \ angle DEB = 22.5 ^ 0 [/ math].

Por lo tanto, [matemáticas] \ ángulo CED = 45 ^ 0 [/ matemáticas], lo que hace que [matemáticas] \ bigtriangleup CDE [/ matemáticas] sea un triángulo rectángulo isósceles con [matemáticas] CD = CE [/ matemáticas].

Por lo tanto, [matemática] AE = AB = AC + CE = AC + CD [/ matemática].

QED

Answer 5

Sin palabras