Trilateración: tengo 4 puntos en un plano, y la única información conocida son las coordenadas x, y de un punto y la distancia entre cualquier par de puntos. ¿Puedes deducir alguna información sobre la posición de los tres puntos desconocidos?

Answer 1

Buena pregunta.
Este es el famoso problema de 4 puntos. Antes de proceder, eche un vistazo al problema de los 3 puntos.

Planteamiento del problema:
Hay 3 puntos A, B, C en el plano cartesiano que satisfacen las siguientes condiciones:
1) Se conoce la ubicación del punto A Que se llame (x1, y1)
2) La distancia entre el punto A y B es fija y conocida. Que se llame “r1”.
3) La distancia entre el punto A y C es fija y conocida. Que se llame “r2”.
4) La distancia entre el punto B y C es fija y conocida. Que se llame “r3”.
Encuentre las coordenadas de los puntos B y C en términos de x1, y1, r1, r2, r3, si es posible.

Ahora veamos si podemos encontrar una solución.
La restricción 1 nos dice el punto exacto de ubicación A. Así que comenzamos por eso.

Ahora dibuja un círculo con el centro A y el radio r1. Tome cualquier punto aleatorio B en este círculo y satisfará la restricción 2.

Ahora toma el centro como A y dibuja otro círculo de radio r2. Tome cualquier punto aleatorio C * en este círculo y satisfará la restricción 3.

Nota: en la figura he asumido que r2> r1. Aquí no hay pérdida de generalidad porque si r2 <r1, entonces todo lo que necesita hacer es intercambiar B y C. Además, si r1 = r2, entonces se convierte en un caso degenerado simple.
Entonces, todo lo que tenemos que hacer ahora es satisfacer la restricción 4. Pero de la figura anterior vemos que BC * no puede tomar ningún valor arbitrario. Tiene un límite inferior como se muestra a continuación:

BCmin = AC – AB = r2 – r1
También tiene un límite superior como se muestra a continuación:

BCmax = 2 * AB + AC-AB = AB + AC = r1 + r2
Entonces, nuestra solución final es que si se cumple la condición r2-r1 <= BC * <= r2 + r1, entonces tenemos un punto único C * que satisfará la restricción 4 y tendremos una solución única que puede parecerse a esto :

Si la restricción antes mencionada no se cumple, entonces la solución simplemente no existe. Tenga en cuenta que hasta ahora solo le he mostrado la condición que debe cumplirse para que haya una solución única. No voy a encontrar las coordenadas reales de los puntos B y C porque estoy demasiado cansado en este momento. 🙂
Ahora pasemos al problema de los 4 puntos.

Planteamiento del problema:
Hay 4 puntos A, B, C, D en el plano cartesiano que satisfacen las siguientes condiciones:
1) Se conoce la ubicación del punto A Que se llame (x1, y1)
2) La distancia entre el punto A y B es fija y conocida. Que se llame “r1”.
3) La distancia entre el punto A y C es fija y conocida. Que se llame “r2”.
4) La distancia entre el punto A y D es fija y conocida. Que se llame “r4”.
5) La distancia entre el punto B y C es fija y conocida. Que se llame “r3”.
6) La distancia entre el punto B y D es fija y conocida. Que se llame “r5”.
7) La distancia entre el punto C y D es fija y conocida. Que se llame “r6”.
Encuentre las coordenadas de los puntos B, C, D en términos de x1, y1, r1, r2, r3, r4, r5, r6 si es posible.
Usamos un enfoque similar. De la restricción 1 tenemos la ubicación de A.
Dibujamos un círculo con centro A y radio r1. Tomamos un punto aleatorio B en este círculo y la restricción 2 está satisfecha.
Dibujamos un círculo con centro A y radio r2. Tomamos un punto aleatorio C * en este círculo y la restricción 3 está satisfecha. La figura hasta ahora se verá así:

Esta es la parte crucial. No podemos avanzar a menos que incluyamos la restricción que descubrimos del problema de 3 puntos. Si suponemos que la condición
“R2 – r1 <= BC <= r2 + r1” está satisfecho, entonces el camino para la restricción 5 está despejado.

Ahora dibuja un círculo tomando A como centro y radio r4. Tomamos un punto aleatorio D * en este círculo y la restricción 4 está satisfecha.

Ahora para satisfacer la restricción 6 necesitamos forzar una condición adicional, es decir
r4-r1 <= BD <= r4 + r1
Donde el límite inferior corresponde al caso:

Y el límite superior corresponde al caso:

También para satisfacer la restricción 7 necesitamos forzar una condición adicional, es decir
r4-r2 <= CD <= r4 + r2
Donde el límite inferior corresponde al caso:

Y el límite superior corresponde al caso:

Entonces, la solución final es que si se cumplen las siguientes condiciones, entonces existe una solución única:
a) r2-r1 <= BC <= r2 + r1
b) r4-r1 <= BD <= r4 + r1
c) r4-r2 <= CD <= r4 + r2

Si no se cumplen estas condiciones, entonces no existe una solución única.
Una vez más, tenga en cuenta que solo le estoy dando las restricciones bajo las cuales existe una solución única y no la solución real que tendrá coordenadas de B, C, D en términos de x1, y1, r1, r2, r3, r4, r5, r6 .

Si realmente quieres llegar tan lejos, te daré un consejo.
Ve polar.

Answer 2

Sería capaz de construir una imagen que difiera como máximo en una rotación y un reflejo.

Digamos que me das las coordenadas del punto A y la distancia entre cualquier par de puntos en {A, B, C, D}.

Sé exactamente dónde está A porque me lo dijiste, pero tengo que hacer conjeturas para B, C y D. Llamaré a estas conjeturas B ‘, C’ y D ‘.

Como conozco la distancia AB, puedo trazar B ‘en cualquier lugar del círculo centrado en A con radio AB. Lo más probable es que adivine mal el punto exacto de B, pero siempre puede corregir mi imagen girándola sobre el punto A hasta que mi punto B ‘coincida con su punto B.

Ahora necesito trazar el punto C. Si la distancia AB + distancia BC = distancia AC, entonces los puntos son colineales, y solo hay un lugar para poner C ‘dado que ya he colocado B’, así que en este caso, estoy todavía solo por una rotación (a menos que tenga suerte en mi primera suposición y B = B ‘en cuyo caso C = C’).

Si la distancia AB + distancia BC

A, B ‘, C’ formarán un triángulo * congruente con A, B, C. Puede rotarlo sobre el punto A hasta que B coincida con B ‘, y luego, si es necesario, puede reflejarlo alrededor de la línea a través de A y B para asegurarse de que C coincida con C’.
(* – Si A, B, C son colineales, entonces el triángulo está degenerado)

D ‘se coloca de manera similar a C’, pero también conocemos la distancia CD, por lo que en el caso de que tengamos dos opciones para colocar D ‘, si C’ no está en la línea AB ‘, entonces reduce las ubicaciones de D ‘a una posibilidad. Si C ‘está en la línea AB’, entonces no necesitamos un reflejo para corregir C ‘y, a lo sumo, no tenemos un reflejo para corregir D’.

Answer 3

No podrá determinar los puntos exactos porque puede rotar el plano alrededor del punto conocido sin cambiar ninguna de las distancias. Eso significa que no hay una solución única.