¿Es siempre el caso de que N (> 4) puntos en la superficie de una esfera más alejados entre sí son los vértices del N-hedron regular más grande que puede contener la esfera? ¿Hay una manera intuitiva de probar esto?

Answer 1

La pregunta está mal definida, me temo.

Primero, ¿qué significa que N puntos estén “lo más lejos posible el uno del otro”? ¿Cómo compara dos posibles arreglos de puntos para determinar si uno de ellos tiene sus puntos “más separados” que el otro? ¿Miras la distancia mínima entre dos de los puntos? ¿El máximo? ¿La media? La suma de los cuadrados?

En segundo lugar, sin importar cómo elija formalizar la pregunta, la respuesta no puede ser “el N-hedron regular” ya que no hay un N-hedron regular para la mayoría de los valores de N. Solo hay cinco convexos (con N = 4, 6, 8, 12, 20 vértices) y cuatro no convexos. La respuesta a su pregunta con N = 23 no puede ser un poliedro regular.

Hay muchos problemas difíciles e interesantes en la distribución de puntos en las esferas. El que sé que puede estar más cerca de lo que tienes en mente es el problema de Thomson (http://en.wikipedia.org/wiki/Tho…) que está inspirado en la física: de todos los arreglos de N electrones en la esfera , encuentre el (o los) que minimizan el potencial electrostático. Esto solo significa que lo funcional que estamos minimizando es la suma de los recíprocos de las distancias por pares.

La respuesta al problema rara vez se conoce. Se sabe que la solución óptima es el sólido platónico apropiado para N = 4, 6 y 12, pero para N = 8, sorprendentemente, la solución óptima no es el cubo. Por supuesto, para la mayoría de los demás valores de N es difícil incluso adivinar cuál podría ser la solución óptima, y ​​de cualquier manera, la solución aún no se conoce para todos, salvo algunos casos esporádicos.