¿Es posible tomar un cubo dado y luego construir otro cubo de exactamente la mitad de su volumen, por ejemplo, el cubo 2 * 2 * 2 de cualquier unidad?

Answer 1

Usted pregunta: “¿Es posible tomar un cubo dado y luego construir otro cubo de exactamente la mitad de su volumen?” pero nos ha dejado a nosotros decidir qué cuenta como construcción.

Si te refieres a la construcción con herramientas planas euclidianas, entonces no. Eso significa solo usar (1) una brújula para dibujar círculos dados un punto para el centro y un punto en la circunferencia, y (2) una regla para dibujar líneas rectas dados dos puntos. Los antiguos geómetras griegos pensaban que no se podía hacer con esas herramientas. Gauss también dijo que no se podía hacer. La primera prueba de que es imposible fue dada por Pierre Wantzel en 1837.

Si permite otras herramientas, puede ser. Hipócrates de Chios (hace aproximadamente 2450 años) redujo el problema a encontrar dos proporcionales medias entre dos magnitudes. Supongamos que tiene un cubo de volumen [matemática] a [/ matemática] y desea usarlo para construir un cubo de volumen [math] ka. [/ math] Si puede encontrar dos proporcionales medias entre [math] a [/ math] y [math] ka, [/ math] es decir, magnitudes [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] tal que [matemática] a: b = b: c = c: ka, [/ matemática] luego el cubo con longitud lateral [matemática] b [ / math] tendrá un volumen [math] k [/ math] veces el cubo original. Aunque Hipócrates no logró encontrar ninguna construcción que hiciera eso, en pocas décadas Archytas de Tarentum logró tal construcción basada en la intersección de un cono, un cilindro y un toro. Geómetras posteriores usaron solo secciones cónicas.

Imagen de Archytas de Rick Mabry: Cylinder, Cone, Torus

Pappus de Alejandría clasificó los problemas geométricos en tres tipos. (1) “problemas de plano” que se pueden resolver con herramientas euclidianas de plano, (2) “problemas sólidos” que se resuelven también con herramientas que involucran secciones cónicas, y (3) “problemas lineales” que requieren curvas más altas. Este problema se clasificó como un problema sólido. La cuadratura del círculo se clasificó como un problema lineal.

Más recientemente, se ha demostrado que las construcciones de Origami, es decir, el plegado de papel, son suficientes para resolver este problema.

También pregunta: “Si no, ¿cuáles son las implicaciones del” mundo real “de esto?

Dudo que haya implicaciones en el mundo real.

Answer 2

Hay un problema clásico (el llamado Problema de Delic) que pide duplicar el cubo con brújula y regla. Se ha demostrado con algunos métodos de álgebra universitaria de primer año que es imposible. Como puedes construir el inverso de un número con la brújula y la regla, se deduce que tampoco puedes la mitad del cubo.

Las implicaciones del mundo real de esto es que los matemáticos serios dejaron de intentar encontrar una construcción de brújula y regla para duplicar el cubo. Lamentablemente los chiflados continúan.

Answer 3

Toma las dimensiones del cubo. Divida la longitud lateral del cubo por 1.26 (raíz cúbica de 2). Corte una sección de una esquina del tamaño que calculó.

No puede dividir un cubo en otros cubos y tener un cubo con la mitad del volumen del cubo original, porque a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3 no es posible resolver con enteros positivos. (Si los enteros negativos fueran en voz alta, 1 ^ 3 + (-1) ^ 3 = 0 ^ 3). Sin embargo, puede construir un cubo con 1/8 del volumen, 1/27 del volumen, etc. dependiendo del cubo debido a cómo la división será un número entero porque la raíz cubica de 8 es 2, 27 es 3, etc.

Si tuviera un cubo de 4x4x4, podría hacer 8 cubos de 2x2x2. Si tuviera un cubo de 9x9x9, podría hacer 27 cubos de 3x3x3, y así sucesivamente.

Answer 4

Simplemente escala tus lados por la raíz cúbica de ½. En su caso, las nuevas longitudes serían [matemáticas] 2 ^ {2/3} [/ matemáticas] dando un volumen de 4.

Answer 5

No. No con las reglas de construcción euclidianas clásicas usando una brújula y un borde recto. Uno tendría que resolver ecuaciones cúbicas irreducibles y eso no sería posible con regla y borde recto.

Answer 6

Todo depende de lo que entiendas por “construir” y por “exactamente”.

La fórmula del cubo sería 1/2 = x ^ 3, así que resuelve para x: x = (1/2) ^ 1/3, que es aproximadamente 0.79370052598. Es un número irracional, por lo que no hay una representación decimal exacta.

También resulta que no puede construirlo con su pequeño kit de herramientas de geometría simple: borde recto y brújula: Página en niu.edu.

Pero ciertamente puede tomar un poco de papel de lija y un micrómetro y lijarlo para que cada dimensión esté lo más cerca posible de 0.79370052598. Su micrómetro típico y su vernier pueden llevarlo a 0.7937. Un micrómetro láser puede reducirlo a 0.7937005, más o menos 3 en el último dígito. Pero no hay forma de hacerlo exacto.

Answer 7

Se reduce a si las longitudes de este nuevo cubo son o no construibles (número constructible). El número que tendrá que explorar es (1/2) ^ (1/3).

Apostaría a que esto probablemente no sea constructible; Sin embargo, no soy positivo.