¿Cuál es el significado de la geometría tropical?

La geometría tropical es un matrimonio de la geometría algebraica clásica y la combinatoria; específicamente, combinatoria poliédrica. Una variedad algebraica tropical es, en cierto sentido, una sombra de una variedad algebraica sobre un campo de valor algebraicamente cerrado (como los números complejos); esta sombra vive dentro del espacio n euclídeo. Como resultado, esta sombra es una especie de complejo poliédrico (o más exactamente, su dual es un complejo poliédrico), y tales objetos son inherentemente más fáciles de estudiar, siendo discretos.

La conexión entre la geometría tropical y la geometría algebraica se puede entender concretamente de la siguiente manera. En geometría algebraica, se estudian soluciones a ecuaciones polinómicas. Uno hace lo mismo en geometría tropical, excepto que los polinomios adquieren un significado ligeramente diferente. Específicamente, uno trabaja en el “semi-anillo tropical”, en el que la suma se reemplaza por “min” y la multiplicación se reemplaza por la suma. Por ejemplo, 3 + 7 = 3 y 3 * 7 = 10.

Además, “soluciones a ecuaciones polinómicas” significa algo ligeramente diferente: en lugar de buscar lugares donde su polinomio se evalúa a cero, busca lugares donde su polinomio no es lineal. Es fácil ver a partir de las definiciones que cualquier polinomio tropical define alguna función lineal por partes desde el espacio n euclidiano a los reales, y, como resultado, lo correcto es pedir los “bordes” de estas funciones [ esto viene de una manera no tan obvia de la idea del primer párrafo de entender una variedad sobre los números complejos al comprender su “sombra”].

Ciertos problemas en la geometría algebraica pueden resolverse declarando primero un “análogo tropical” del problema. Luego, resuelva este análogo tropical, luego pruebe que esto implica la declaración original. Si bien esto ha demostrado ser una técnica efectiva para ciertos problemas en la geometría algebraica (algunos de los cuales se mencionan en el artículo que hace referencia Michel), también es el caso de que la geometría tropical y la geometría algebraica clásica son lo suficientemente diferentes como para mostrar el paso importante que la declaración tropical implica que la declaración clásica generalmente está lejos de ser obvia.

Si bien muchas ideas (el teorema de Bezout, la fórmula de grado-género, el teorema de Riemann-Roch …) de la geometría clásica tienen análogos bien aceptados en la geometría tropical, hay otros que simplemente no se transfieren de ninguna manera que la gente sepa cómo. Como ejemplo, ni siquiera es obvio cuál es la forma “correcta” de definir una variedad tropical, por la siguiente razón: las operaciones de “tropicalización” (tomar sombras) y la intersección generalmente no conmutan. Es decir, si tomo dos superficies en, digamos, un complejo espacio proyectivo de tres espacios, las intersecto y considero el análogo tropical de la curva resultante, podría obtener algo diferente que si primero tomara los análogos tropicales de las dos superficies, luego los cruzó en el espacio tropical.

Comprender completamente los paralelos entre la geometría tropical y la clásica y poder aplicar las técnicas tropicales en toda su potencia a los problemas de la geometría algebraica (y otros campos, por ejemplo, la biología computacional) es actualmente un tema de investigación muy activo.

Para una introducción al tema, recomendaría este artículo: Página en berkeley.edu

Para algo un poco más detallado, pero aún expositivo y relativamente informal, hay esto: http://arxiv.org/pdf/math/030636…

El verdadero significado de la geometría tropical es su capacidad para traducir varias preguntas enumerativas de geometría algebraica al lenguaje de la combinatoria (que generalmente se cree que es mucho más simple). Los ejemplos más famosos de tal interpretación son

– Conteo tropical de invariantes Gromov-Witten de C ^ 2 por G.
Mikhalkin
[matemáticas / 0312530] Geometría algebraica tropical enumerativa en R2

– Conteo tropical de invasores Welschinger de R ^ 2 por I. Itenberg, V. Kharlamov y E. Shustin

Itenberg, I., Kharlamov, V. y Shustin, E .: Welschinger invariante y enumeración de curvas racionales reales. Matemáticas Internacionales. Research Notices 49 (2003), 2639–2653.

– Conteo tropical de invariantes Bloch-Goettsche de C ^ 2 (tipo del problema que incorpora tanto invariantes Gromov-Witten como Welschinger) por I. Itenberg y G. Mikhalkin

[1201.0451] En multiplicidades Block-Goettsche para curvas tropicales planas

Por supuesto, no es la lista exhaustiva de las correspondencias clásicas / tropicales conocidas.

Algunas personas creen que la geometría tropical está estrechamente relacionada con la simetría del espejo, y esta relación es la verdadera fuente de su eficiencia computacional. Como punto de partida, vea la página en ucsd.edu