Dada la ubicación de tres puntos en un marco de referencia fijo. Se dice que estos puntos se encuentran fijos en los tres ejes perpendiculares de algún sistema de coordenadas móviles. ¿Se puede determinar el origen de este sistema de coordenadas móviles y su orientación con respecto al marco de referencia fijo?

Answer 1

Sean A, B y C tres puntos fijos distintos en el espacio, y X un punto tal que los tres ángulos AXB, AXC y BXC sean todos ángulos rectos. ¿Qué podemos decir sobre X ?

Dado que el ángulo AXB es un ángulo recto, por lo tanto, X se encuentra en la esfera cuyo diámetro es AB. Del mismo modo, X se encuentra en la esfera cuyo diámetro es BC. La intersección de estas dos esferas es un círculo. (Imagine dos burbujas de jabón de diámetros posiblemente diferentes). Además, X se encuentra en la esfera cuyo diámetro es CA. Esa esfera se cruzará con el círculo en dos puntos. Uno de esos puntos estará en un lado del plano ABC mientras que el otro será el reflejo de ese punto en el plano en el otro lado del plano.

Por lo tanto, solo hay dos de esos puntos. Eso significa que el sistema de coordenadas de movimiento propuesto en la pregunta no se mueve.

Imagen de 3 burbujas de la página de Iman Sadeghi sobre Rendering Bubbles

Answer 2

Creo que sí. Si observamos la dimensión del problema, el origen del marco móvil necesita tres parámetros y tres más para definir su orientación. También tiene tres parámetros libres: las posiciones de los puntos a lo largo del eje de coordenadas. Eso es nueve incógnitas en total. Tienes tres ubicaciones, así que son nueve ecuaciones en total. Exactamente suficiente

Podemos plantear el problema como un problema de matriz, que x0, y0, z0 sea el origen del marco móvil, a, b, c sean tres ángulos de Euler que definan la rotación y x1, y1, z1 sean las posiciones de los tres puntos a lo largo el eje x, y, z en el marco móvil. Sea M (a, b, c) la matriz de rotación. La transformación del marco móvil al marco fijo es (x0, y0, z0) + M (a, b, c) * (x, y, z). Aplicando esto a los vectores (x1,0,0), (0, y1,0), (0,0, z1) da los tres puntos de conocimiento.

Una forma física de pensar en esto es considerar el triángulo formado por los tres puntos conocidos. Ahora podemos considerar el marco móvil como la esquina de la caja. Esencialmente, el problema es ajustar el triángulo en la esquina para que cada esquina de las mentiras en un borde de la caja. Un poco de pensamiento asegura que solo hay una forma de hacerlo (hasta permutaciones de coordenadas).

Answer 3

No. Para simplificar, suponga que el marco de referencia móvil tiene velocidad 0. Considere el caso en que los tres puntos están ubicados en (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). El origen del marco de referencia móvil podría ser (0,0,0) o (1,1,1).