Geometría: ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de una superficie plana de una esfera?

Answer 1

El área plana de la esfera de la que está hablando se observa en esferas hechas de materiales que ceden bajo presión.

Eso está bajo presión cerca del punto de contacto, los materiales se deforman y se vuelven “más planos” y la planitud se detiene cuando se alcanza un equilibrio.

Una esfera gigante rígida y lisa, tan grande como la tierra “No” tendrá ninguna superficie plana, porque no está sujeta a presión de contacto.

En la tierra, cada objeto está sujeto a una fuerte gravedad y se produce deformación. Curiosamente, no es solo la esfera la que se deformaría, también es la superficie de contacto.

Ahora, la física de ceder y esquilar no es tan simple. Hay varias fórmulas para objetos de formas simples (como varillas lineales, cilindros), pero se vuelve realmente complicado cuando lo aplica a objetos de la vida real: esfera, propiedades materiales.

Esferas de agua, la arcilla húmeda produciría más y sería más plana (ya no serían esfera)

Las esferas de masa, tierra húmeda, goma rendirían un poco y serían algo más planas
Las esferas de materiales como el hierro, el metal, etc. serían muy rígidas y prácticamente tendrían contacto puntual para los cálculos.

Sin embargo, una esfera de goma en una superficie hecha de masa no producirá mucho (en cambio, la masa se deformaría) y la esfera como tal no se aplacaría: la superficie se curva (y aún así aumenta el área de contacto)

Una esfera de goma colocada sobre una superficie de metal caliente produciría mucho más (ya que el contacto se derrite un poco) y tendría un área de contacto más grande

Una esfera de goma colocada en otra superficie rígida durante mucho tiempo produciría un poco más de área de contacto.

Para resumir: la planitud (o área de contacto de la esfera en una superficie) depende de
“material de la esfera, peso de la esfera (que a su vez depende de la gravedad), material de contacto, temperatura y duración del contacto”

Desafortunadamente, todas estas interacciones complejas hacen que sea difícil obtener una fórmula simple para el rendimiento y el área de contacto. Puede ser que pueda trabajar a través de principios básicos y hacer un modelo de aproximación simple

En la práctica, necesita un modelo computacional complejo [principios básicos aplicados a piezas pequeñas y luego integradas sobre una forma compleja] para determinar el área de contacto (planitud) con precisión (casi).

Trataré de encontrar una ecuación aproximada simple y responderé si puedo formular tal ecuación.

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Algunos ejemplos cotidianos comunes de comportamiento de rendimiento de las esferas en contacto:

Las gotas de lluvia son esféricas mientras caen, pero pierden su forma y finalmente se vuelven planas en la tierra / superficie dura: ceden con demasiada facilidad.

Neumáticos: la seguridad de los neumáticos se basa en el principio de que los neumáticos cederían bajo presión, obtendrían un área de contacto más grande y cuando se aplican los frenos se detendrían debido a una mayor fricción (debido al área de contacto más grande).
Es posible que haya notado esto, (con mucha facilidad si se trata de una bicicleta, porque necesita bombear los músculos), que conducir / conducir se vuelve tan fácil con neumáticos con mayor presión, lo siente tan suave, rápido y fácil (debido a un menor contacto zona con caminos, menor fricción). Sin embargo, los neumáticos desinflados ceden fácilmente bajo presión (peso de usted + vehículo), tienen más fricción y son más difíciles de mover, pero son más fáciles de detener.

El mismo principio funciona al tener una mayor velocidad de seguridad con una mayor carga en un automóvil (por ejemplo, en una carretera, puede conducir de manera segura hasta 120-140 km cuando está lleno de 5 personas). Pero se vuelve muy inseguro cuando conduce solo a la misma velocidad: menor peso => ​​menor rendimiento => menor área de contacto => menor fricción => difícil de detener.

La fuerza de fricción [matemáticas] f = \ mu * N [/ matemáticas] que lee en los libros son aproximaciones simples a la situación de la vida real: depende de la fuerza de van der Waals entre los dos objetos en contacto y varía con la presión aplicada, la duración de contacto, área de contacto, temperatura e interacción molecular entre los materiales en contacto: todos esos factores se caracterizan convenientemente como [matemáticas] \ mu [/ matemáticas] para un modelo newtoniano simple y aproximadamente correcto de un sistema de objetos.

Answer 2

No hay fórmula, porque no hay una superficie plana. Una esfera está curvada en todas partes.

Editar: Parece que el autor de la pregunta ahora quiere saber sobre una esfera imperfecta (por ejemplo, la Tierra o una bola de acero que cabe en un escritorio). Para estimar el área plana de estos objetos, e incluso definir “plano” no es trivial para cosas físicas reales, requeriría una gran cantidad de datos y cálculos detallados asistidos por computadora. Nuevamente no hay una fórmula general.

Un apéndice más para aclarar un error tangencial (juego de palabras no intencionado): si de alguna manera establece una esfera perfecta (hecha de hipotéticos átomos infinitamente pequeños) en un escritorio perfectamente plano, no rodaría aunque ninguna parte de la esfera sea plana, asumiendo que la única fuerza en el sistema es la gravedad de la Tierra actuando perpendicular a la mesa.

Answer 3

Habrá una fórmula empírica. El área dependería del tipo de material de esfera, material de superficie y posiblemente gravedad. Si el material está hecho de goma, entonces seguramente el área en contacto será mayor. Pero en caso de que el material esté compuesto de grafito, entonces seguramente el área será menor. El párrafo anterior es aplicable para las esferas de la vida real.
Sin embargo, para una esfera teórica / matemática, teóricamente, toca la superficie exactamente en un punto.

La primera esfera es una esfera de la vida real con un área de superficie real en contacto.
La segunda es la esfera matemática / ideal / teórica con solo un punto de contacto.

Gracias por la corrección Robert Kaspar

Answer 4

El “contacto” es la repulsión electrostática entre los electrones externos de los átomos en la superficie. En el interior, está respaldado por repulsión electrostática interna. Los electrones permanecen en su lugar debido a la energía de sus orbitales y al principio de exclusión de Pauli. No vas más allá de eso a menos que estés en una estrella de neutrones o algo así.

Entonces, incluso si dices que la pelota es perfectamente esférica, habrá un poco de “skooshiness” en su superficie. El área de contacto no está bien definida. Una heurística razonable, probablemente lo suficientemente buena para la mayoría de los propósitos, sería tomar el tamaño promedio de los átomos que componen la bola y describir un círculo tal que en la circunferencia la distancia entre la esfera ideal y la superficie ideal sea aproximadamente del tamaño de uno de estos átomos y cero en la superficie. Eso, por supuesto, requeriría conocer también el radio de la pelota.

Answer 5

Su pregunta se refiere a un “área plana” que me confunde. Si realmente estuviéramos considerando una esfera perfecta, no habría área plana; sería igualmente curvado en todas partes. Si pusiéramos esta esfera perfecta en contacto con una superficie perfectamente plana, se tocarían precisamente en un punto. (O, si lo desea, podríamos decir que se tocarían en un vecindario infinitesimal de un punto, las desviaciones infinitesimales de ese punto tienen una magnitud de cero al cuadrado).

Answer 6

“Cálculo infinitesimal” trata problemas como este
Página en google.com

Answer 7

Especifique el número máximo de grados d que considera “plano” (matemáticamente solo d = 0 es perfectamente plano, pero en el mundo real podemos hablar de aproximadamente “plano”). Entonces el área plana A será

[matemáticas] A = \ pi {\ left ({{r {{2 \ pi} \ over {360}} d} \ over {2}} \ right)} ^ 2 [/ math]

[matemáticas] \ implica A = {\ pi} ^ 3 {\ left ({rd} \ over {360} \ right)} ^ 2 [/ math]

donde r es el radio (no la circunferencia) de la Tierra.

El radio de la Tierra es de 6400 km, es decir, 6.400 kilómetros. Para 10 grados, que apenas se nota, el área será:

[matemáticas] A = {\ pi ^ 3} ({{1} \ más de 360} 6,400 km * 10) ^ 2 \; \\ {} \ implica {} A = 979,950 \, km ^ 2 [/ math]

Esto es aproximadamente el área de Texas y Oklahoma combinadas:

Answer 8

Lo sentimos, pero esto plantea la pregunta “Depende de lo que quieras decir con una superficie plana”. Si te refieres a uno que podría extenderse al infinito en cualquiera de sus 4 direcciones, entonces tenemos un ideal que nunca podría existir en la realidad: sin embargo, si la superficie es, por ejemplo, la parte superior de la mesa típica del comedor, entonces la mesa es un plano tangente a la esfera, cortándola en los puntos de un radio de círculo 0. De hecho, no existe una superficie plana de una esfera, ya que tres puntos en la superficie (el mínimo para definir una superficie o plano m) deben se unirán mediante líneas curvas: una vez más, como las distancias punto a punto tienden a cero, esto se convertirá en un punto, no en un plano, que según el axioma básico de euclides no tiene tamaño, sino que marca la posición

Answer 9

Idealmente, la superficie es tangencial a la esfera y, por lo tanto, no hay área de contacto. Aunque prácticamente hay un cierto aplanamiento de la esfera en función de su módulo de rigidez y módulo de masa.

Answer 10

Creo que la pregunta está relacionada con la idea del poliedro regular. Si un poliedro regular tiene suficiente superficie plana pequeña, tal vez cientos de miles, puede considerarse como una esfera. Básicamente, una esfera no tiene ningún área plana a menos que haya una gran presión que la obligue a convertirse en una combinación de plano y curva.

Es difícil dar una fórmula exacta para calcular el plano ya que es difícil describir la forma de esta área plana: puede ser una pequeña circular o simplemente irregular. Me pregunto si se puede aplicar el método diferencial.

Answer 11

En matemáticas? Un punto. En el mundo real, nunca se tocan.