Veamos el panorama general y cómo se construye en espacios más simples y qué conduce a los espacios de Hilbert. Realmente no tengo un conocimiento profundo del análisis funcional, pero lo intentaré.
Entonces, comencemos con espacios métricos.
Espacios métricos : Obedece todas las propiedades de métrica (métrica (matemáticas))
Este espacio tiene una distancia definida sobre él de modo que podamos observar las distancias y observar los puntos ‘a’ convergentes a un punto ‘b’ (digamos). En pocas palabras, lo que realmente podemos hacer en este espacio es si un punto converge o no converge a otro punto. No hay noción de adición o cosa trivial también. Una cosa más que estos espacios son funciones de manejo totalmente capaces. Lo que quiero decir con eso, por ejemplo, es que cada punto en el espacio métrico puede ser una función. Por ejemplo, un polinomio puede converger a una función lineal. Definimos distancias en consecuencia. De tal manera que se conservan las propiedades métricas.
Espacios métricos completos : podemos construir sobre espacios métricos y definir una noción de integridad. En pocas palabras, lo que esto realmente significa es que decir que un punto converge en un punto límite. Por lo tanto, toda la secuencia que converge a un límite permanece en el espacio (incluido el punto límite). lo que esto realmente significa es que no hay agujeros en el espacio.
- ¿Cuál es una prueba de que el camino más corto entre dos puntos en una esfera es el segmento de un gran círculo?
- ¿Cuál es la idea básica de la geometría proyectiva?
- Cómo definir la geometría de los medios porosos para el modelado de yacimientos de petróleo y estudios de simulación
- ¿Es posible tomar un cubo dado y luego construir otro cubo de exactamente la mitad de su volumen, por ejemplo, el cubo 2 * 2 * 2 de cualquier unidad?
- ¿Cómo se inventaron los gráficos 3D?
Espacios vectoriales : aquí definimos un espacio independientemente que nos da la capacidad de sumar y multiplicar vectores por un escalar. Tenga en cuenta que este espacio no tiene noción de convergencia. Aquí definimos suma, multiplicación por un escalar, independencia lineal, subespacio, dimensión del subespacio, rango. Tenga en cuenta que no tenemos ninguna noción de producto dot aquí. Es la forma en que se define y es diferente al álgebra lineal. La algerba lineal realmente funciona en el espacio hilbert a partir de lo que normalmente usamos (estamos llegando allí).
Espacio normado : Aquí definimos una norma, es decir, asociamos a cada punto un número que es como combinar un espacio métrico y un espacio vectorial y luego ver qué sucede. Ahora tenemos una noción de convergencia y podemos sumar, restar, multiplicar con escalar aquí. 🙂 Estamos aquí y este espacio es muy familiar.
Espacio normado completo (espacio de Banach) : aquí agregamos la noción de integridad similar al espacio métrico completo. O es como combinar un espacio métrico completo y un espacio vectorial y luego ver qué sucede.
Además, ahora se pueden definir operadores que son solo una asignación de un espacio a otro (T: D (T) -> R (T)) D y R son dominio y rango de T. Esto es un poco diferente al dominio y rango de espacio o en términos simples T: X -> Y, es decir, T asigna puntos en X a puntos en Y. X, Y se dicen en el espacio de Banach. ejemplos de operadores familiares son Identidad, diferenciación, integración, inversa, etc. Obedecen las propiedades del operador lineal. La multiplicación de matrices también es un operador lineal. Definimos propiedades del operador (como acotación, bla, bla, etc.)
También definimos un funcional que está en nuestra forma familiar es decir función objetiva en el aprendizaje automático (esto es sobre simplificación pero eso es todo, ejemplo T: X -> R).
También definimos la base que es exactamente la misma que en el álgebra lineal.
También le sugiero que vea el teorema del punto fijo del operador de contracción / banach y su aplicación.
Espacio previo a Hilbert : Otra forma de definir un espacio es definir un producto interno en el espacio. También podemos ver que la norma se puede generar utilizando un producto interno. También podemos introducir la noción de norma, ortogonalidad con nuestro producto interno definido. Hablemos más sobre esto en la próxima parte.
Espacio de Hilbert : Un espacio de producto interno completo es el espacio de Hilbert. El espacio Hibbert es un tipo específico de espacio normado. No todos los espacios de Banach son espacios de Hilbert, pero todos los espacios de Hilbert son espacios de Banach.
Se puede definir ortogonalidad, proyección, norma, operador adjunto. También tenemos un teorema de representante que es útil. Uno puede entrar en esto mientras usa RKHS (Reproducción del kernel hilbert space).
¿Cuál es el patrón que vemos cuando venimos de arriba a abajo? Se agregan más componentes a los espacios, los espacios comienzan a parecer familiares, comienzan a parecer útiles, más específicos.
Espero que esto ayude.
PD: Puede suceder que estos no sean realmente correctos, escritos para ver el panorama general. Yo también soy un principiante. 🙂