He cubierto las pruebas de las leyes de reciprocidad cuadrática (los símbolos Legendre y Jacobi). Sin embargo, este tratamiento de residuos cuadráticos ha sido bastante seco. ¿Existen aplicaciones de la vida real de los residuos cuadráticos?

Answer 1

Estoy seguro de que un criptógrafo pronto responderá y me contradecirá, pero en el gran esquema de las cosas, la importancia de la reciprocidad cuadrática no son sus aplicaciones. Es que condujo a la teoría increíblemente exitosa y complicada llamada “Class Field Theory” (que generaliza la reciprocidad cuadrática por * mucho *), que, a su vez, condujo a un conjunto de conjeturas llamado “Programa Langlands” (que generaliza la Clase Teoría de campo por * mucho *!). Un caso particular del Programa Langlands se llama conjetura de Shimura Tanayama. Esta conjetura ha sido probada y ha llevado a la prueba del último teorema de Fermat. (Andrew Wiles demostró suficiente de la conjetura de Shimura Tanayama para probar FLT, y luego Brian Conrad lo demostró por completo).

Entonces, la conclusión es que el deseo de generalizar la reciprocidad cuadrática ha sido una de las fuerzas impulsoras más fuertes para los teóricos de números durante el siglo pasado más o menos.

Answer 2

Por lo tanto, vale la pena enfatizar que la reciprocidad cuadrática no se trata solo de calcular símbolos Legendre; Se trata de las preguntas de exactamente qué ecuaciones son solucionables (mod p) . En particular, esta pregunta es trivial para ecuaciones lineales; Para las ecuaciones cuadráticas, el siguiente paso, este problema se resuelve mediante la reciprocidad cuadrática.

Obviamente, las matemáticas se refieren a si puedes resolver ecuaciones o no. Las ecuaciones más simples que tratamos de entender son los polinomios, y uno de los contextos más básicos en los que intentamos resolver ecuaciones es (mod p) ; observe, por ejemplo, que si una ecuación no tiene soluciones (mod p) , tampoco tiene soluciones en los enteros.

Answer 3

Aquí hay un ejemplo que uso en mi clase de posgrado:
Sabemos que la ley puede usarse para determinar si cualquier ecuación cuadrática módulo un número primo tiene una solución. Esto es importante en criptografía y en seguridad informática. La reciprocidad cuadrática es una herramienta particularmente útil cuando quieres ver si un número es un mod cuadrado p (p prime).

Un criptosistema en particular que requiere la ayuda de la Reciprocidad cuadrática es el criptosistema de clave pública Goldwasser-Micali; este es el caso porque plantea la siguiente pregunta basada en la siguiente información:
Deje que p, q sean primos (secretos) y que se dé N = pq. Para un entero dado a, determine si a es un mod cuadrado N, es decir, determine si existe un entero u que satisfaga u ^ 2 = un mod N.

En particular, es especialmente fácil para Bob, el receptor del mensaje que sabe factorizar N, resolver este problema porque a es un mod cuadrado pq iff (a / p) = 1 y (a / q) = 1.

Puede encontrar más en el libro de Springer titulado Una Introducción a la Criptografía Matemática por Hoffstein, Pipher y Silverman (Capítulo 3, creo …)

No es muy difícil encontrar ejemplos para hacer en clase. Creo que mi N fue inferior a 5 millones.