La respuesta de Stephen McInerney no es del todo precisa porque supone que estamos tomando raíces de enteros. En general, los números racionales distintos de cero tienen una raíz cuadrada racional si su denominador y numerador simplificados son cuadrados enteros perfectos. Los números irracionales nunca tienen una raíz cuadrada racional.
- Un número racional p / q (donde p y q son enteros coprimos yq es positivo) tiene una raíz cuadrada racional si f y q son enteros cuadrados perfectos .
Simplemente tenga en cuenta que podemos escribir p / q como a² / b² para enteros positivos a, b, de modo que a / b sea un sqrt de p / q.
En la otra dirección, reescriba p / q = (a / b) ² = a² / b², donde a y b también son coprimos para que p = a² y q = b² (para ver esto, reescriba p / q como producto de potencias primarias x1 ^ y1 * x2 ^ y2 * … y tenga en cuenta que p = producto (xi ^ yi) para todo i donde yi> 0, y q = producto (xi ^ -yi) para i donde yi <0. lo mismo con a² / b², que tiene los mismos factores primos x1 ^ y1 * x2 ^ y2 * … y ahora debería quedar claro que p = a² y q = b²) - Un número irracional no tiene una raíz cuadrada racional .
Supongamos para algún a irracional que a = (p / q) ². Entonces p = q²a, pero el producto de un racional distinto de cero (q²) y un irracional (a) también es irracional (p). p es un entero, por lo tanto, esto es una contradicción.