Cómo demostrar que existen conjuntos finitos de matrices unitarias NXN [matemática] {U_i} [/ matemática] y probabilidades (que suman 1) [matemática] {p_i} [/ matemática] de cardinalidad igual para todas las matrices NXN [matemáticas] A [/ matemáticas], [matemáticas] \ sum_i p_i U_i A U_i ^ \ dagger = \ frac {tr (A)} {N} I [/ matemáticas]

Suponga que el espacio de dimensión de Hilbert dado [matemática] N [/ matemática] forma una representación irreducible [matemática] \ pi [/ matemática] de un grupo finito [matemática] G [/ matemática]. Luego, usando el teorema de Peter Weyl (que también se aplica a grupos finitos) y el hecho de que las representaciones irreducibles de un grupo finito pueden elegirse para ser unitarias, tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {| G |} \ sum_ {g \ in G} \ pi (g) _ {ij} \ pi (g) ^ {*} _ {kl} = \ frac {1 } {N} \ delta_ {ik} \ delta_ {jl} [/ math]

Ahora suponga que [math] A [/ math] sea cualquier matriz [math] N \ times N [/ math]. Multiplicando ambos lados de la ecuación anterior por [matemática] A_ {jl} [/ matemática] y sumando [matemática] j [/ matemática] y [matemática] l [/ matemática] tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {| G |} \ sum_ {g \ in G} \ pi (g) A \ pi (g) ^ {\ dagger} = \ frac {1} {N} trace ( A) I [/ matemáticas]

Donde hemos usado el hecho de que [math] \ pi (g) [/ math] ‘s son matrices unitarias.

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[matemáticas] UAU ^ \ daga = diag (\ lambda_1, \ lambda_2,… \ lambda_n) [/ matemáticas].

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Andrew Weimholt

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