Es [matemáticas] \ mid. \ mid _ {p} [/ math] se supone que es la norma p-adic? Si es así, esta afirmación es falsa. Tome [matemática] p = 2, p_n = 1, q_n = 1, B = 1, A = -3 [/ matemática], obtendrá [matemática] \ mid 4 \ mid _ {p} = \ frac {1} { 4} \ geq \ frac {1} {3} [/ math], que obviamente es incorrecto. Sin embargo, si trabaja con el valor absoluto normal, entonces se vuelve bastante trivial: solo tiene que usar el hecho de que [math] B p_n – A q_n [/ math] es un número entero distinto de cero.
Editar: Ok, eché un vistazo al periódico. La proposición 2.1 es correcta, pero ha habido un ligero error en la prueba, pero nada demasiado grande.
La idea es simplemente que [matemáticas] \ mid B p_n – A q_n \ mid [/ math] no puede ser demasiado grande, por lo tanto, la norma p-adic no puede ser demasiado pequeña. Probémoslo:
[matemática] \ mid B p_ {n} – A q_ {n} \ mid \ leq 2 max (B \ mid p_ {n} \ mid, \ mid A \ mid q_ {n}) [/ math] [math] = p ^ {log_ {p} (2 máx. (B \ mid p_ {n} \ mid, \ mid A \ mid q_ {n}))} [/ math].
Esto significa que: [matemáticas] \ mid B p_n – A q_n \ mid _ {p} \ geq \ frac {1} {p ^ {1+ log _ {p} (max (B \ mid p_n \ mid, \ mid A \ mid q_n))}} [/ math]
Observe también que: [matemáticas] \ mid \ frac {1} {B} \ mid_ {p} \ geq 1 [/ math]
- Cómo demostrar que [matemáticas] \ left (\ frac {-1} {x + 1} \ right) ^ {k + 1} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ binom {n} {k } \ left (\ frac {-1} {x} \ right) ^ {n + 1}
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Ahora ponemos todas las piezas juntas:
[matemáticas] \ mid p_ {n} – \ frac {A} {B} q_ {n} \ mid _ {p} = \ mid \ frac {1} {B} \ mid_ {p} \ mid B p_n – A q_n \ mid _ {p} [/ math] [math] \ geq \ frac {1} {p ^ {1+ log _ {p} (max (B \ mid p_n \ mid, \ mid A \ mid q_n)) }} [/ math] [math] \ geq \ frac {1} {p} \ frac {1} {max (B \ mid p_n \ mid, \ mid A \ mid q_n)} [/ math] [math] \ geq \ frac {1} {p} \ frac {1} {max (\ mid A \ mid, B) max (\ mid p_ {n} \ mid, q_ {n})} [/ math]
Así que finalmente obtenemos: [matemáticas] max (\ mid p_ {n} \ mid, q_ {n}) \ mid p_ {n} – \ frac {A} {B} q_ {n} \ mid _ {p} \ geq \ frac {1} {p} \ frac {1} {max (\ mid A \ mid, B)} [/ math]. Esto permite probar fácilmente el teorema establecido.