¿Cómo pueden los matemáticos descubrir [matemáticas] \ left (ab \ right) ^ {2} \ geq 0 [/ math] como el primer paso para probar [matemáticas] \ dfrac {a + b} {2} \ geq \ sqrt { ab} [/ matemáticas]?

Answer 1

(Primero, una corrección a la pregunta: si lo resuelve, [math] \ frac {a + b} {2} \ geq \ sqrt {ab} [/ math] en realidad es equivalente a [math] (\ sqrt { a} – \ sqrt {b}) ^ 2 \ geq0 [/ math] y no [math] (ab) ^ 2 \ geq0 [/ math]

Como no estoy seguro de cómo se derivó históricamente esta desigualdad, solo proporcionaré un escenario plausible:

Para descubrir que [math] (\ sqrt {a} – \ sqrt {b}) ^ 2 \ geq0 [/ math] puede usarse como el punto de partida para derivar la desigualdad AM-GM de 2 términos, se necesita cierta intuición matemática necesario.

Una motivación importante es que los cuadrados son siempre no negativos, por lo tanto, si una desigualdad se puede reducir a la forma [matemáticas] x ^ 2 \ geq0 [/ matemáticas], entonces es necesariamente cierto.

Por lo tanto, puede intentar reducir [matemáticas] \ frac {a + b} {2} \ geq \ sqrt {ab} [/ matemáticas] a un cuadrado de una expresión. Es aquí donde observa que al cuadrado una expresión que contiene [math] \ sqrt {a} [/ math] y [math] \ sqrt {b} [/ math] puede darle los términos [math] a, b, [/ matemática] y [matemática] \ sqrt {ab} [/ matemática].

Con este razonamiento, se le indicará que intente expandir [math] (\ sqrt {a} + \ sqrt {b}) ^ 2 \ geq0 [/ math] o [math] (\ sqrt {a} – \ sqrt { b}) ^ 2 \ geq0 [/ math], y eventualmente notarás que la segunda desigualdad es lo que se necesita para probar la desigualdad AM-GM.

Answer 2

No soy muy bueno para demostrar las desigualdades. Entonces, para que mis pies se muevan, trabajo hacia atrás de la siguiente manera:

[matemáticas] \ dfrac {a + b} {2} \ geq \ sqrt {ab} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Leftarrow \ dfrac {a ^ 2 + 2ab + b ^ 2} {4} \ geq {ab} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Leftarrow a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \ geq4ab [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Leftarrow a ^ 2-2ab + b ^ 2 \ geq 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Leftarrow (ab) ^ 2 \ geq 0 [/ matemáticas]

Lamentablemente, el método no siempre funciona.

Answer 3

Asumiendo que [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​números reales (tienen que ser para que esa desigualdad sea siempre verdadera), entonces [math] ab [/ math] también debe ser un real número porque la resta está “cerrada” para números reales. El cuadrado de un número real siempre es positivo, porque un negativo multiplicado por un negativo es positivo y un positivo multiplicado por un positivo sigue siendo positivo.

El resto de la prueba es así:

[matemáticas] (ab) ^ 2 \ geq 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ {2} – 2ab + b ^ {2} \ geq 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ {2} + 2ab + b ^ {2} \ geq 4ab [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + b) ^ {2} \ geq 4ab [/ matemáticas]

[matemáticas] a + b \ geq \ sqrt {4ab} [/ matemáticas]

[matemáticas] a + b \ geq 2 \ sqrt {ab} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {a + b} {2} \ geq \ sqrt {ab} [/ matemáticas]

Answer 4

¡Trabajando al revés! Eso funciona en laberintos, y funciona en matemáticas.

Answer 5

Todos los cuadrados son mayores o iguales a cero, esto incluye (a – b) ^ 2

Answer 6

Bueno [matemática] \ forall x \ in \ R (x ^ 2 \ ge 0) [/ math] porque [math] (+) \ times (+) = (+) [/ math] y [math] (-) \ times (-) = (+) [/ math] y dado que [math] ab [/ math] es un número real para todos los números reales [math] a [/ math] y [math] b [/ math] sigue .

Answer 7

los cuadrados perfectos siempre son positivos, pruébalo con cada número que puedas.

por lo tanto, [matemáticas] (ab) ^ 2 ≥ 0 [/ matemáticas]

expanda para obtener [matemáticas] a ^ 2 – 2ab + b ^ 2 ≥ 0 [/ matemáticas]

ahora [matemática] a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 ≥ 4ab [/ matemática] (agregando [matemática] 4ab [/ matemática] a ambos lados)

toma la raíz cuadrada, y la desigualdad NO cambia porque es la raíz cuadrada principal (positiva)

entonces, [matemáticas] (a + b) ^ 2 ≥ 4ab [/ matemáticas] se convierte en [matemáticas] a + b ≥ 2√ \ overline {ab} [/ matemáticas]

dividir por 2 para obtener [matemáticas] \ frac {a + b} {2} ≥ √ \ overline {ab} [/ matemáticas]

…

Answer 8

[matemáticas] \ displaystyle (ab) ^ 2 \ geq0 \ iff a ^ 2-2ab + b ^ 2 \ geq0 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle a ^ 2-2ab + b ^ 2 \ geq0 \ iff a ^ 2-2ab + b ^ 2 + 4ab \ geq 0 + 4ab \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle a ^ 2-2ab + b ^ 2 + 4ab \ geq 0 + 4ab \ iff a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \ geq 4ab \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \ geq 4ab \ iff (a + b) ^ {2} \ geq 4ab \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle (a + b) ^ {2} \ geq 4ab \ iff a + b \ geq \ sqrt {4ab} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemática] \ displaystyle a + b \ geq \ sqrt {4ab} \ iff a + b \ geq2 \ sqrt {ab} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle a + b \ geq2 \ sqrt {ab} \ iff \ frac {a + b} {2} \ geq \ sqrt {ab} \ tag * {} [/ math]

[Math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​cualquier número real. La raíz de los números reales dará lugar a al menos ceros.