¿Cómo pruebo por inducción matemática que [matemáticas] 1- \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ ldots + \ frac {(- 1) ^ {n + 1}} {n} [/ math] siempre es positivo?

Answer 1

Si probara esto por inducción, primero observaría que si la suma de cualquier número par de términos es positiva, entonces la suma de cualquier número impar de términos también es positiva como la diferencia entre la suma de los primeros [matemáticos] 2n +1 [/ math] términos y la suma de los primeros [math] 2n [/ math] términos es [math] \ frac 1 {2n + 1}> 0 [/ math].

Por lo tanto, solo tenemos que demostrar la afirmación de que para todas [matemáticas] n \ in \ mathbb N [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {2n} \ frac {(- 1) ^ {k + 1}} k> 0 [/ matemáticas]

El caso base es solo [matemática] 1- \ frac 12> 0 [/ matemática]. Luego asumimos que la afirmación es cierta para algunos [math] n \ in \ mathbb N [/ math] y consideramos la suma:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {2 (n + 1)} \ frac {(- 1) ^ {k + 1}} k [/ matemáticas]

Si podemos demostrar que esta suma es positiva, hemos completado el argumento inductivo.

Pero

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {2 (n + 1)} \ frac {(- 1) ^ {k + 1}} k = \ sum_ {k = 1} ^ {2n} \ frac {(-1) ^ {k + 1}} k + \ frac 1 {2n + 1} – \ frac 1 {2n + 2} [/ matemática]

[matemáticas] = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {2n} \ frac {(- 1) ^ {k + 1}} k + \ frac 1 {(2n + 1) (2n + 2)} [/ matemáticas ]

Según la hipótesis inductiva, [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {2n} \ frac {(- 1) ^ {k + 1}} k> 0 [/ matemáticas], y para todas [matemáticas] n \ in \ mathbb N [/ math], [math] \ frac 1 {(2n + 1) (2n + 2)}> 0 [/ math], por lo que concluimos que la suma en cuestión es, de hecho, positiva.

Answer 2

Como señaló el Sr. Joyce, su fórmula tal como está ahora:

[matemáticas] 1 – \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {3} + \ ldots + \ dfrac {(- 1) ^ n} {n} \ tag * {} [/ matemáticas]

tiene un problema de notación: los signos delante de los términos deben ser flip flop, y no lo hacen, y el primer término, cuando [math] n = 1 [/ math], debe ser [math] -1 [/ math] , no [matemáticas] 1 [/ matemáticas].

Digamos que los términos de la suma son [math] \ dfrac {(- 1) ^ k} {k + 1} [/ math]. Muestre por inducción que la suma:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n \ dfrac {(- 1) ^ k} {k + 1} \ tag * {} [/ matemáticas]

donde [math] k, n \ in \ mathbb {N} [/ math], siempre es positivo.

La base para la inducción: cuando [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas] entonces:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ 1 \ dfrac {(- 1) ^ k} {k + 1} = 1 – \ dfrac {1} {2} = \ dfrac {1} {2}> 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

es verdad.

La hipótesis de la inducción: suponga que la suma anterior es positiva para algunas [matemáticas] n> 1 [/ matemáticas] fijas:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n \ dfrac {(- 1) ^ k} {k + 1}> 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

El paso de inducción: verifique si la suma es positiva para [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {n + 1} \ dfrac {(- 1) ^ k} {k + 1} \ tag * {} [/ matemáticas]

En este caso tenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {n + 1} = \ sum_ {k = 0} ^ n + \ dfrac {(- 1) ^ {n + 1}} {n + 2} \ tag {1} [/ matemáticas]

La suma en el lado derecho del signo igual arriba siempre es positiva por hipótesis. Por lo tanto, tenemos dos casos: cuando [matemática] n [/ matemática] es impar y cuando [matemática] n [/ matemática] es par.

Caso 1. Si [math] n [/ math] es impar, lo que significa [math] n = 2q + 1 [/ math] para algunos [math] q \ in \ mathbb {N} [/ math] entonces:

[matemáticas] n + 1 = 2q + 1 + 1 = 2 (q + 1) \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

y, por lo tanto, el poder de [matemáticas] -1 [/ matemáticas] (del último término) es siempre par. Por lo tanto, a un número racional siempre positivo agregamos otro número racional positivo y dado que los racionales forman un campo ordenado, dicha suma siempre es positiva.

Caso 2. Si [math] n [/ math] es par, lo que significa [math] n = 2q [/ math] para algunos [math] q \ in \ mathbb {N} [/ math] entonces el [math] (n +1) [/ math] -st término siempre es negativo, pero la suma en el lado derecho del signo igual en ( 1 ) se puede escribir como:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} + \ dfrac {1} {n + 1} – \ dfrac {1} {n + 2} \ tag * {} [/ matemática]

Pero:

[matemáticas] 1 <2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] n + 1

(no olvide: [matemáticas] n> 1 [/ matemáticas])

[matemáticas] \ dfrac {1} {n + 1}> \ dfrac {1} {n + 2} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {n + 1} – \ dfrac {1} {n + 2}> 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

y, nuevamente, a un número racional siempre positivo agregamos otro número racional positivo. Por lo tanto, la suma dada siempre es positiva.

Answer 3

No necesitas inducción para eso. Solo reagrupa la suma como

(1–1 / 2) + (1 / 3-1 / 4) + ……. ((1 / (2k) – 1 / (2k + 1)) o

(1–1 / 2) + (1 / 3-1 / 4) + ……. ((1 / (2k) – 1 / (2k + 1)) + 1 / (2k + 2) dependiendo de si n es par o impar.

En cualquier caso, la suma es positiva.