¿Por qué estos teoremas matemáticos simples tienen pruebas indirectas?

Answer 1

En términos generales, cuanto más simple es un concepto, más difícil es articular lo que significa.

Por ejemplo, considere el siguiente teorema: cada curva cerrada simple tiene un interior y un exterior. Esto generalmente se llama el teorema de la curva de Jordan (porque un matemático llamado Jordan fue el primero en ofrecer una prueba, aunque defectuosa).

Este es un resultado de “Lo sé cuando lo veo”. Un ejemplo es un círculo, que es simple (sin autocruces) y cerrado (puede seguir la curva hasta su punto de partida). Hay un interior y un exterior.

Ahora viene la parte desafiante: ¿Qué quiere decir con un punto “dentro” de la curva, frente a un punto “fuera” de la curva? Es posible que pueda encontrar una buena manera de caracterizar esto para un círculo (por ejemplo, los puntos más cercanos al centro que el radio están “adentro”), pero esta definición no funciona para una elipse, ni funcionará para una curva como esta:

Entonces, parte del problema es definir lo que entendemos por “adentro” y “afuera” de una manera que pueda aplicarse a cada curva cerrada simple en el plano.

Answer 2

Hay un sesgo de selección aquí.

Los resultados con una formulación simple son generalmente más útiles, independientemente de si sus pruebas son largas o cortas. Los resultados con pruebas cortas generalmente no se denominan teoremas, sino que son lemas o trucos o simplemente ideas recurrentes.

Casi por definición, un teorema tiene que ser algo que sea notablemente más simple que su prueba.

Answer 3

Es porque si bien los teoremas matemáticos que tiene en mente pueden ser simples en lo que respecta a nuestra intuición, en matemáticas es necesario criticar cuidadosamente y, por lo tanto, probar todo lo que se hipotetiza. Esto se debe a que hay muchos problemas en los que la respuesta también parece fácil, pero en realidad no se puede responder solo por intuición.