¿Cómo puedo demostrar que [matemáticas] n ^ 3-n [/ matemáticas] es divisible por [matemáticas] 6, [/ matemáticas] usando la inducción?

Answer 1

Inducción.

Demuestre para el primer elemento:

Para [matemática] n = 0 [/ matemática], entonces [matemática] n ^ 3-n = 0-0 = 0 [/ matemática] y [matemática] 0 = 6 \ cdot0 [/ matemática].

Si prefiere comenzar con [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] n ^ 3-n = 1-1 = 0 [/ matemáticas].

Hipótesis de inducción:

Supongamos que [matemática] 6 [/ matemática] divide [matemática] n ^ 3-n [/ matemática].

Demuestre para el siguiente elemento:

Entonces, demostremos que [matemáticas] 6 [/ matemáticas] divide [matemáticas] (n + 1) ^ 3- (n + 1) [/ matemáticas].

Entonces,
[matemáticas] \ begin {align}
(n + 1) ^ 3- (n + 1) & = (n ^ 3 + 3n ^ 2 + 3n + 1) – (n + 1)
\\ & = n ^ 3 + 3n ^ 2 + 3n + 1-n-1
\\ & = (n ^ 3-n) +3 (n ^ 2 + n)
\\ & = (n ^ 3-n) + 3n (n + 1)
\ end {align} [/ math]

Tenemos que [matemática] 6 [/ matemática] divide [matemática] n ^ 3-n [/ matemática] (por hipótesis de inducción). Además, [matemática] 3 [/ matemática] divide [matemática] 3n (n + 1) [/ matemática], y luego, [matemática] n [/ matemática] o [matemática] n + 1 [/ matemática] es par , entonces [matemática] n (n + 1) [/ matemática] es par, entonces [matemática] 2 [/ matemática] divide [matemática] 3n (n + 1) [/ matemática]. Por lo tanto, [matemáticas] 6 [/ matemáticas] divide [matemáticas] 3n (n + 1) [/ matemáticas].

Entonces [matemáticas] 6 [/ matemáticas] divide [matemáticas] (n ^ 3-n) + 3n (n + 1) = (n + 1) ^ 3- (n + 1) [/ matemáticas].

Answer 2

Esto fue escrito antes de que la pregunta pidiera una prueba por inducción. Hay otra gran respuesta usando inducción aquí:

La respuesta de Carlos Eugenio Thompson Pinzón a ¿Cómo puedo probar que [matemática] n ^ 3-n [/ matemática] es divisible por [matemática] 6, [/ matemática] usando inducción?

Ser divisible por 6 significa ser divisible entre [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 [/ matemáticas]. ¡Entonces hagamos eso!

Primero veamos sus factores

[matemáticas] n ^ 3-n [/ matemáticas] tiene 3 factores, primero lo dividimos en [matemáticas] n (n ^ 2-1) [/ matemáticas] luego en [matemáticas] n (n-1) (n +1) [/ matemáticas].

Conectemos algo para tener una mejor idea de lo que estamos tratando. Si [math] n [/ math] fuera [math] 5 [/ math], tendríamos [math] 5 (4) (6) [/ math]. Tenga en cuenta que es divisible entre [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 [/ matemáticas].

Aquí hay un hecho útil, en cualquier grupo de tres enteros consecutivos, uno DEBE ser un múltiplo de tres.

[matemática] 0 1 2 [/ matemática], [matemática] 1 2 3 [/ matemática], [matemática] 2 3 4 [/ matemática], [matemática] 3 4 5… [/ matemática]

[matemáticas] 0, 3, 3, 3 [/ matemáticas]

En nuestro primer conjunto de tres, nuestro múltiplo de 3 es 0. En el segundo, tercero y cuarto, es 3. No importa qué triplete entero elija, hay un múltiplo de [math] 3 [/ math] en alguna parte. Ya sea el primer, segundo o tercer número en el triplete, no importa, pero está en algún lugar.

Debido a que nuestros tres factores son enteros consecutivos ([matemática] (n-1) (n) (n + 1) [/ matemática]) hemos encontrado que uno debe ser un múltiplo de [matemática] 3 [/ matemática].

Además, observe el patrón de números pares e impares en la recta numérica.

[matemáticas] 1 2 3 4 5 6… [/ matemáticas]

Extraño, par, impar, par … ¿notas el patrón?

En nuestros tres enteros consecutivos hay dos formas en que podría ir.

Impar incluso impar

Incluso impar incluso

En nuestro caso [matemática] n = 5 [/ matemática], nuestros factores fueron [matemática] 4 [/ matemática] [matemática] 5 [/ matemática] y [matemática] 6 [/ matemática], incluso par impar.

¡Esto significa que nuestro número también es divisible por [matemáticas] 2 [/ matemáticas]! Entonces, debido a que nuestro número es divisible por [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 [/ matemáticas], un número producido por [matemáticas] n ^ 3-n [/ matemáticas] también debe ser divisible por [matemáticas] 6 [/ matemáticas].

Lo siento, mi inglés no es el mejor. ¡Ojalá esto ayude!

Answer 3

Hay algunas formas de hacer esto.

Solución 1

Tómelo mod [math] 2 [/ math] y mod [math] 3 [/ math] por separado. Si lo tomamos mod [math] 2 [/ math], observe que [math] n ^ 3 [/ math] y [math] n [/ math] tienen la misma paridad, así que [math] n ^ 3 – n [/ math] es divisible por 2. Ahora, tomemos mod [math] 3 [/ math]. Queremos mostrar que [matemáticas] n ^ 3 – n = 0 \ mod 3 [/ matemáticas]. Si n es divisible por [matemática] 3 [/ matemática] ya hemos terminado. Entonces, suponga que [math] 3 [/ math] no divide [math] n [/ math]. Entonces, [math] 3 [/ math] y [math] n [/ math] son ​​relativamente primos, lo que nos permite usar el pequeño teorema de Fermat que nos da [math] n ^ 2 = 1 \ mod 3 [/ math]. Aplicando esto a la congruencia que queremos mostrar, tenemos

[matemáticas] n ^ 3 – n = n (n ^ 2) – n = nn = 0 \ mod 3 \ tag * {} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] n ^ 3 – n [/ math] es divisible por [math] 6 [/ math].

Solución 2

[matemática] n ^ 3 – n [/ matemática] parece muy factorizable … ¡así que factorémoslo! Tenemos

[matemáticas] n ^ 3 – n = n (n ^ 2 – 1) = n (n-1) (n + 1) \ tag * {} [/ matemáticas]

que es el producto de [matemáticas] 3 [/ matemáticas] números consecutivos. Aplicando el Principio de Pigeonhole a los residuos mod [math] 3 [/ math], uno de los números debe ser divisible por [math] 3 [/ math]. Del mismo modo, aplicando el Principio de Pigeonhole a los residuos mod [math] 2 [/ math], uno de los números debe ser divisible por [math] 2 [/ math]. Por lo tanto, el producto de ellos debe ser divisible por [matemáticas] 6 [/ matemáticas]