Imagina que tenemos que demostrar que LHS = RHS ¿Podemos multiplicar ambos lados con el mismo número (cero) y así demostrar que algo es igual a cualquier cosa?

Answer 1

Si bien las respuestas a continuación han hecho declaraciones buenas y matemáticamente sólidas, que son ciertas, creo que podemos explorar un poco más y descubrir algunas cosas en el proceso.

Preguntémonos: ¿qué es exactamente la multiplicación? Claro, cuando tenemos enteros podemos entenderlo como una suma repetida, pero esa lógica comienza a desmoronarse cuando consideras la multiplicación de números racionales o irracionales, francamente, no es tan fácil entender lo que significa la multiplicación en este contexto.

Resulta que hay una excelente manera de entender lo que realmente hace la multiplicación, con la ayuda de una herramienta utilizada muy temprano en la educación, la recta numérica real .

Podemos entender fácilmente sumas y restas en la recta numérica. Cuando sumamos, desplazamos la recta numérica a la izquierda. Cuando restamos, lo desplazamos hacia la derecha. Por ejemplo, si actualmente está centrado en cero, para llevar [matemáticas] 7 [/ matemáticas] al centro, debe hacer [matemáticas] 0 + 7 = 7 [/ matemáticas]. Arrastras la línea numérica completa 7 unidades hacia la izquierda y ta-da, estás en 7.

¿Podría haber una manera de representar la multiplicación o división en la recta numérica? Bueno, resulta que hay. Cuando multiplica, estira o comprime la recta numérica. Y lo haces de tal manera que 1 termina siendo el valor de la multiplicación. Por ejemplo, si multiplica un número con 5.23, ¡aprieta la línea numérica para que la ubicación “1” termine siendo 5.23! Luego, simplemente ve dónde terminó siendo el número anterior que quería multiplicar.

Puede ser un poco complicado visualizar esto, pero pruébelo – digamos para un número como 2. Aprieta la línea numérica para que el “viejo” esté ahora en dos. Y si el viejo está en 2, el viejo termina en 4, el viejo termina en 6 y así sucesivamente. 1 * 2 = 2, 2 * 2 = 4, 3 * 2 = 6.

Ahora puede comenzar a comprender dónde radica el problema en su declaración. Básicamente, está tomando dos expresiones y sus líneas numéricas, y está tratando de estirar la línea numérica para que la una termine en cero. ¡Esto es imposible, tienes que estirar la línea infinitamente ! Y en el infinito, las cosas se vuelven muy complicadas e indeterminadas. Pierde información: ya no puede comparar las dos cosas, ya no hay nada que comparar, por lo que la desigualdad no se cumple necesariamente. Puede sostenerse, pero también puede no serlo.

Si pudieras de alguna manera “simular” la división por cero en este contexto, sería como si comprimieras las líneas numéricas de las dos expresiones hasta un solo punto. ¡Por supuesto que no puedes compararlos entonces! ¡Ya no hay una recta numérica, sino un punto numérico! Y eso no es útil para comparar cosas: un punto es un punto. Es por eso que la división por cero no está definida.

Me doy cuenta de que no soy el mejor maestro y esta probablemente no sea la mejor metáfora, pero espero que arroje algo de luz sobre el concepto y te haga cuestionar algunas cosas que puedes aplicar sin pensar mucho.

Answer 2

Esta es una noción importante y complicada. La respuesta, por supuesto, es “no”: multiplicar ambos lados por cero nos permitiría “probar” que cualquier cosa es igual a cualquier cosa y, por lo tanto, claramente no puede ser un paso válido para aplicar. Pero exactamente por qué y cómo no es válido puede ser bastante sutil.

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¡Aquí viene una prueba incorrecta !

Lema: [matemáticas] 1 = 2 [/ matemáticas]

Prueba de lema:

Suponga que [matemáticas] a = b [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] ab = b ^ 2 [/ matemáticas], y [matemáticas] a ^ 2 – ab = a ^ 2 – b ^ 2 [/ matemáticas].

Factorizando, vemos que [matemáticas] a (a – b) = (a + b) (a – b) [/ matemáticas].

Dividiendo ambos lados por [matemáticas] (a – b) [/ matemáticas] obtenemos [matemáticas] a = a + b [/ matemáticas].

Sustituyendo [math] b = a [/ math] obtenemos [math] a = 2a [/ math].

Dividiendo ambos lados por [matemáticas] a [/ matemáticas] obtenemos [matemáticas] 1 = 2 \ \ [/ matemáticas] QED

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Consideremos cuidadosamente qué es lo que estamos haciendo cuando manipulamos una ecuación aplicando la misma operación a ambos lados.

La ecuación nos dice, por ejemplo, que [matemáticas] A = B [/ matemáticas]. Ahora aplicamos una operación, digamos [math] f (x) [/ math], a ambos lados. Siempre que [math] f (x) [/ math] tenga un valor único, debe quedar razonablemente claro que [math] A = B \ implica f (A) = f (B) [/ math]. Sin embargo, si estamos buscando una solución a la ecuación, entonces no estamos buscando consecuencias de la ecuación; más bien, estamos buscando hechos que incluyan la ecuación entre sus consecuencias. Un hecho que incluye la ecuación entre sus consecuencias y que nos informa sobre algún elemento importante de la ecuación (como una variable particular) es una solución de la ecuación .

Entonces, no nos interesa el hecho de que [matemáticas] A = B \ implica f (A) = f (B) [/ matemáticas]. Lo que necesitamos saber es que [matemáticas] f (A) = f (B) \ implica A = B [/ matemáticas]. Pero esto NO siempre será cierto. Hay muchos ejemplos de operaciones [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] para las cuales esta implicación inversa NO es cierta. [math] f (x) = x \ div 0 [/ math] es solo un ejemplo de tal operación. [math] f (x) = c [/ math] donde [math] c [/ math] es cualquier constante es otra familia de ejemplos de tales operaciones. Hay muchos otros: [matemática] f (x) = x ^ 2 [/ matemática], [matemática] f (x) = x ^ 4 [/ matemática], [matemática] f (x) = \ left \ lvert x \ right \ rvert [/ math], etc.

Lo que necesitamos de nuestra operación [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] para saber que [matemáticas] f (A) = f (B) \ implica que A = B [/ matemáticas] es para [matemáticas] f ( x) [/ math] para tener un inverso , y esto significa que [math] f (x) [/ math] debe ser uno a uno . Las operaciones que son dos a uno, como [matemáticas] f (x) = x ^ 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] f (x) = \ left \ lvert x \ right \ rvert [/ matemáticas], son problemáticas , y las operaciones de muchos a uno, como [matemática] f (x) = c [/ matemática] o [matemática] f (x) = x \ div 0 [/ matemática], son inútiles.

Por lo tanto, al manipular una ecuación para resolverla, debemos asegurarnos de que cada operación que apliquemos a ambos lados sea uno a uno . Si una operación es de dos a uno o similar, como cuadrar ambos lados, esto puede ser útil, pero debemos recordar que al aplicar esta operación probablemente hayamos introducido algunas soluciones “falsas” que surgirán al final pero no de hecho, sean soluciones de la ecuación: esto puede verificarse y descartar las soluciones falsas. Si una operación es de uno a uno , nunca deberíamos usarla, y en particular debemos tener cuidado de verificar que las operaciones que parecen inofensivas no sean realmente de uno a uno cuando miramos más de cerca.

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Entonces, ¿dónde salió mal la “prueba” anterior? Mira la línea que dice

Dividiendo ambos lados por [matemáticas] (a – b) [/ matemáticas] obtenemos …

Esto parece inofensivo, pero debido a que [math] a = b [/ math] en realidad es una división por cero, que NO es una operación uno a uno. Cuando multiplicamos o dividimos ambos lados de una ecuación por algo , debemos comprobar que lo que multiplicamos o dividimos no es cero; de lo contrario, corremos el riesgo de producir resultados erróneos, como [matemática] 1 = 2 [/ matemática].

Answer 3

¿Crees que “cualquier cosa es igual a cualquier cosa”?

No, verdad?

Bueno, esta bien entonces. Entonces eso responde a su pregunta: de hecho, no considera que este tipo de inferencia sea sólida. No desea permitir esto como una regla de inferencia en su juego de prueba.

Y tampoco los demás. No se considera válido en aritmética ordinaria deducir “x = y” de “0 * x = 0 * y”. No hay una regla que pueda deducir “x = y” de “c * x = c * y” en general, precisamente por este tipo de cosas. Solo puede hacerlo en casos especiales en los que sepa más acerca de c (que no es cero y, por lo tanto, en la aritmética ordinaria, en realidad tiene esta propiedad de cancelación de multiplicación de la que carece cero).