El subgrupo cíclico generado por un elemento [matemático] g [/ matemático] de un grupo [matemático] G [/ matemático] consiste en todas las potencias enteras de [matemático] g [/ matemático] – donde el poder cero se define como el El elemento de identidad de [matemáticas] G [/ matemáticas] y las potencias negativas de [matemáticas] g [/ matemáticas] se definen como las potencias positivas correspondientes de [matemáticas] g ^ {- 1} [/ matemáticas], el inverso de [ matemáticas] g [/ matemáticas]. Pero esto significa que el subgrupo cíclico generado por [math] g ^ {- 1} [/ math] consiste en todos sus poderes enteros positivos, que resultan ser todos los poderes enteros negativos de [math] g [/ math]; el elemento de identidad; y todas las potencias enteras negativas de [math] g ^ {- 1} [/ math], que resultan ser las potencias enteras positivas de [math] g [/ math], que es exactamente el mismo conjunto.
[matemáticas] \ begin {align *}
\ langle g \ rangle & = \ {\, g ^ k \ mid k \ in \ mathbb Z \, \} \\
& = \ {\, (g ^ {- 1}) ^ {- k} \ mid k \ in \ mathbb Z \, \} \\
& = \ {\, (g ^ {- 1}) ^ l \ mid l \ in \ mathbb Z \, \} \\
& = \ langle g ^ {- 1} \ rangle
\ end {align *}
[/matemáticas]