¿Cómo podría probar que [matemáticas] \ Bigl [\ dfrac {p} {q} \ Bigr] + \ Bigl [\ dfrac {2p} {q} \ Bigr] + \ cdots + \ Bigl [\ dfrac {(q – 1) p} {q} \ Bigr] = \ Bigl [\ dfrac {q} {p} \ Bigr] + \ Bigl [\ dfrac {2q} {p} \ Bigr] + \ cdots + \ Bigl [\ dfrac { (p – 1) q} {p} \ Bigr] [/ math]?

Answer 1

¿Por qué deberíamos tratar esto como un problema de álgebra cuando podemos usar una interpretación geométrica ?

Tenga en cuenta que los pisos nos hacen pensar en contar puntos de la red (algo así como la prueba de la reciprocidad cuadrática). Afirmamos que ambos lados de la ecuación cuentan el número de puntos de la red dentro o en el límite del triángulo con coordenadas [matemáticas] (0,0) [/ matemáticas], [matemáticas] (p, 0) [/ matemáticas] , y [matemáticas] (p, q) [/ matemáticas]. Las dos formas en que vamos a contar los puntos de la red son mediante líneas horizontales o líneas verticales.

Entonces, si tomamos el punto [math] (m, 0) [/ math] donde [math] 1 \ leq m \ leq p-1 [/ math] y dibujamos la línea vertical a través de él, la línea vertical se encuentra con la línea de [matemática] (0,0) [/ matemática] a [matemática] (p, q) [/ matemática] en un punto con la coordenada y de [matemática] \ frac {qm} {p} [/ matemática]. Esto significa que hay un total de [matemáticas] \ left \ lfloor {\ frac {qm} {p}} \ right \ rfloor [/ math] de puntos reticulados en esa línea vertical que están dentro o en el límite del triángulo . Entonces, repasando todos los puntos [matemática] (m, 0) [/ matemática], el número de puntos de la red es

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {m = 1} ^ {p-1} \ left \ lfloor {\ frac {qm} {p}} \ right \ rfloor \ tag * {} [/ math]

Ahora para las líneas horizontales, tomamos la coordenada [math] (p, qm) [/ math] para [math] 1 \ leq m \ leq q-1 [/ math] y dibujamos la línea horizontal a través de ella. La línea horizontal luego se cruza con la línea desde [matemáticas] (0,0) [/ matemáticas] a [matemáticas] (p, q) [/ matemáticas] en un punto con la coordenada x de [matemáticas] m- \ frac {pm } {q} [/ math] y entonces hay [math] \ left \ lfloor {\ frac {pm} {q}} \ right \ rfloor [/ math] puntos de celosía en la línea horizontal que están dentro o en el límite del triángulo Al repasar todos los puntos [matemáticas] (p, qm) [/ matemáticas] nos da un total de

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {m = 1} ^ {q-1} \ left \ lfloor {\ frac {pm} {q}} \ right \ rfloor \ tag * {} [/ math]

puntos de celosía.

Dado que ambos cuentan lo mismo, el número de puntos de la red en el interior o en el límite del triángulo con coordenadas [matemáticas] (0,0) [/ matemáticas], [matemáticas] (p, 0) [/ matemáticas ] y [matemáticas] (p, q) [/ matemáticas], deben ser iguales para darnos el resultado deseado.

Answer 2

Escribir

[matemáticas] [\ frac {p} {q}] = \ frac {p} {q} – \ {\ frac {p} {q} \} [/ matemáticas]

donde los corchetes denotan la función de piso y los corchetes denotan la parte fraccionaria (por ejemplo, [matemática] [3.6] = 3, \ {3.6 \} = 0.6 [/ matemática]).

Haga esta sustitución en todos los términos. LHS se convierte

[matemáticas] \ frac {p} {q} + \ frac {2p} {q} + \ dots + \ frac {p (q-1)} {q} – \ {\ frac {p} {q} \} \ puntos = pq / 2-p / 2 – (\ {\ frac {p} {q} \} + \ dots) [/ math]

Dado que [math] mcd (p, q) = 1 [/ math], la suma de los términos entre llaves contiene todos los valores posibles, excepto 0 exactamente una vez, por lo que es igual a

[matemáticas] \ frac {q (q-1) / 2} {q} = q / 2–1 / 2 [/ matemáticas]

y todo el LHS es [matemáticas] (pq-p-q + 1) / 2 [/ matemáticas]

Y está claro que obtendría exactamente lo mismo en el lado derecho.

PD: ¿Por qué la suma de los términos entre llaves contiene todos los valores una vez? Esto puede ser intuitivo si está familiarizado con la teoría de números, pero, si no lo está, podemos probarlo directamente.

Estamos haciendo una sumatoria [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {q-1} \ {\ frac {pk} {q} \} [/ matemáticas].

Hay q posibles valores que [math] \ {\ frac {pk} {q} \} [/ math] puede tomar, a saber, 0, 1 / q, 2 / q, …, (q-1) / q.

Ningún término en la suma es igual a cero. Si [matemáticas] \ {\ frac {pk} {q} \} = 0 [/ matemáticas], significa que [matemáticas] q | pk [/ math], entonces, por generalización del lema de Euclides, [math] mcd (p, q) = 1 [/ math] significa [math] q | k [/ math], lo cual es imposible ya que [math] 1 \ leq k \ leq q-1 [/ matemáticas].

No se repiten términos en la suma, porque, si [matemáticas] \ {\ frac {pk} {q} \} = \ {\ frac {pm} {q} \} [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] 1 \ leq k

Por lo tanto, tenemos q-1 valores posibles y q-1 términos distintos, por lo que cada valor debe aparecer una vez.

Answer 3

Voy a suponer que [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas] son ​​enteros positivos sin factores en común, y que [matemáticas] [x] [/ matemáticas] denota el mayor número entero menos -que-o-igual-a [matemáticas] x [/ matemáticas]. Como quiero esta función y una relacionada (el menor entero mayor o igual que [math] x [/ math]), usaré una notación diferente (realmente deberías probar Knuth’s Concrete Mathematics para saber cómo trabajar fácilmente con estas funciones).

Escribiré [math] \ lfloor x \ rfloor [/ math] para el mayor entero [math] \ leq x [/ math], y [math] \ lceil x \ rceil [/ math] para el menor entero [math] \ geq x [/ math].

Entonces nuestro problema es probar: [matemáticas] \ begin {align} \ left \ lfloor \ frac {p} {q} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ frac {2p} {q} \ right \ rfloor + \ cdots + \ left \ lfloor \ frac {(q-1) p} {q} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor \ frac {q} {p} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ frac {2q} {p} \ right \ rfloor + \ cdots + \ left \ lfloor \ frac {(p-1) q} {p} \ right \ rfloor \ end {align} [/ math]

Jugué bastante con esto, y luego “tropecé” con un truco que nuestro viejo amigo Gauss podría haber intentado. Centrémonos un poco en el lado izquierdo. Tiene la misma forma que el lado derecho, por lo que simplificarlo podría ayudar.

Tomemos dos copias del lado izquierdo, invierta el orden de los términos en uno de ellos y agréguelos juntos; esto significa que estamos emparejando el primer término con el último término, el segundo término con el penúltimo término y pronto. Si escribimos esto usando notación sigma obtenemos:

[matemáticas] \ begin {align} 2 \ cdot \ mathrm {LHS} = {} & \ sum_ {i = 1} ^ {q-1} \ left \ lfloor \ frac {ip} {q} \ right \ rfloor + \ sum_ {i = 1} ^ {q-1} \ left \ lfloor \ frac {(qi) p} {q} \ right \ rfloor \\ {} = {} & \ sum_ {i = 1} ^ {q -1} \ left (\ left \ lfloor \ frac {ip} {q} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ frac {(qi) p} {q} \ right \ rfloor \ right) \ end {align} [/matemáticas]

Ahora miramos de cerca parte del término emparejado:

[matemáticas] \ begin {align} \ left \ lfloor \ frac {(qi) p} {q} \ right \ rfloor = & \ left \ lfloor p – \ frac {ip} {q} \ right \ rfloor \\ = & ~ p + \ left \ lfloor – \ frac {ip} {q} \ right \ rfloor \\ = & ~ p – \ left \ lceil \ frac {ip} {q} \ right \ rceil \ end {align} [ /matemáticas]

(Espero que puedas seguir estos últimos pasos).

Y entonces, deducimos:

[matemáticas] \ begin {align} 2 \ cdot \ mathrm {LHS} = {} & \ sum_ {i = 1} ^ {q-1} \ left (p + \ left \ lfloor \ frac {ip} {q} \ right \ rfloor – \ left \ lceil \ frac {ip} {q} \ right \ rceil \ right) \\ = & ~ p (q-1) + \ sum_ {i = 1} ^ {q-1} \ left (\ left \ lfloor \ frac {ip} {q} \ right \ rfloor – \ left \ lceil \ frac {ip} {q} \ right \ rceil \ right) \ end {align} [/ math]

Ahora, aquí está lo bueno (no es que esto ya no esté bien). ¿Qué es [math] \ lfloor x \ rfloor – \ lceil x \ rceil [/ math]? Es fácil ver que, cuando [math] x [/ math] es un número entero, debe ser cero.

¿Qué pasa si [math] x [/ math] no es un número entero? Bueno, [math] \ lfloor x \ rfloor [/ math] es el número entero justo debajo de [math] x [/ math] y [math] \ lceil x \ rceil [/ math] es el número entero (siguiente) arriba [math] x [/ math], por lo que esta expresión debe ser [math] -1 [/ math].

Entonces, la siguiente pregunta es, cuando [math] \ frac {ip} {q} [/ math] es un número entero, cuando [math] i [/ math] varía de [math] 1 [/ math] a [math] q -1 [/ matemáticas]? Como [math] p [/ math] y [math] q [/ math] no tienen factores en común, para ser integral [math] q [/ math] debe dividirse en [math] i [/ math]. Pero [matemáticas] 1 \ leq i \ leq q-1 [/ matemáticas] así que esto nunca sucede en esta suma.

Deducimos:

[matemáticas] \ begin {align} 2 \ cdot \ mathrm {LHS} = & ~ p (q-1) – \ sum_ {i = 1} ^ {q-1} 1 \\ = & ~ p (q-1 ) – (q-1) \\ = & ~ (p-1) (q-1) \ end {align} [/ math]

Ahora exactamente el mismo argumento se aplica al lado derecho de nuestro problema original, con [math] p [/ math] y [math] q [/ math] intercambiados. (No asumimos nada asimétrico sobre [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas].) Entonces:

[matemáticas] \ begin {align} 2 \ cdot \ mathrm {RHS} = & ~ (q-1) (p-1) \ end {align} [/ math]

que, debido a que es simétrico en [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas] significa [matemáticas] \ matemáticas {LHS} = \ matemáticas [RHS} [/ matemáticas].

Espero que les haya gustado esto (lo hice).