¿Por qué hay tanta demanda de pruebas cuando Goedel demostró que la mayoría, un número infinito de declaraciones verdaderas están más allá de la prueba?

Answer 1

Pregunta originalmente respondida: ¿Por qué hay tanta demanda de pruebas cuando Goedel demostró que la mayoría, un número infinito de declaraciones verdaderas están más allá de la prueba?

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Nunca entiendo exactamente qué tiene que ver Gödel con nada en este tipo de preguntas.

Gödel, con sus teoremas de incompletitud, demostró un resultado computacional, a saber, que existen ciertos tipos de sistemas axiomáticos que tienen la propiedad de que, si son consistentes, no prueban ni refutan todas las proposiciones de su lenguaje. Aquí no se hace mención de la verdad o la falsedad, simplemente se trata de cuestiones de probabilidad.

Una proposición que no puede ser probada ni refutada dentro del sistema se llama proposición indecidible. Y mientras que el OP sugiere que Gödel ha demostrado de alguna manera que tal afirmación debe ser cierta, nada está más lejos del caso. De hecho, en la lógica de primer orden, la razón por la que tal proposición no puede ser probada es precisamente porque existen modelos en los que es falsa.

El hecho de que el axioma no pueda ser probado ni refutado por el sistema significa que la proposición o su negación pueden agregarse al sistema como un nuevo axioma. Si el sistema original era consistente, entonces el nuevo también lo será.

Debe quedar claro que será muy difícil mantener que una proposición indecidible debe ser verdadera, cuando podamos agregar consistentemente la negación de esa proposición como un axioma y, por lo tanto, demostrar que la proposición es falsa por cita de axioma.

De hecho, podemos dar un paso más allá. Podemos comenzar desde un sistema consistente. Encuentra una propuesta indecidible. Agregue la negación de esa proposición como un axioma que nos da un nuevo sistema. Enjuague y repita.

Aquí estoy construyendo una cadena completa de sistemas, donde cada oración indecidible en un sistema es una falsedad demostrable en el siguiente. ¡En una familia de sistemas así, todas las oraciones indecidibles son siempre falsas!

Entonces, no, de hecho Gödel no demostró tal cosa.

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Lo anterior simplemente ignora el hecho de que, incluso si los teoremas de incompletitud demostraran lo que sugiere el OP, eso no sería una excusa para no exigir pruebas cuando se pueden dar.

Quizás el OP también quisiera considerar que, en general, no podemos saber que una propuesta arbitraria es en realidad indecidible, por lo que no puede saber que su búsqueda de pruebas será infructuosa en general.

Answer 2

La pregunta parece estar basada en la premisa de que la tarea de las matemáticas es completar pruebas sin tener en cuenta la naturaleza de los temas considerados.

La prueba de Goedel se basa en la pregunta de qué enunciados pueden probarse en base a un conjunto fijo (y contable) de axiomas para una teoría dada (suponiendo que la teoría sea lo suficientemente sólida como para incorporar los axiomas de la aritmética). El teorema es una respuesta a la respuesta de Hilbert desafío para determinar si el conjunto de todos los teoremas verdaderos para una teoría podría enumerarse efectivamente. Goedel demostró que no se puede utilizar dicho proceso automatizado, que el espacio de las declaraciones verdaderas eludirá la enumeración fácil.

Disculpe, esta no es la formulación más precisa del Teorema de incompletitud: estoy tratando de presentar la idea de manera concisa.

En cualquier caso, la motivación principal detrás de las matemáticas no es simplemente “probar todas las afirmaciones verdaderas”. La conjetura de Hilbert fue meramente una idea que fue flotada y derribada, pero no se relaciona principalmente con miles de años de investigaciones matemáticas.

La búsqueda de estudios matemáticos no es simplemente para llenar el suministro de declaraciones probables en la forma en que una persona podría pintar el costado de un granero. Estudiamos campos dispares de las matemáticas porque surgen orgánicamente en el estudio más amplio de la naturaleza. Se buscan pruebas de enunciados matemáticos porque abren o cierran reinos de posibilidad enteros. El orden sugerido por los estudios matemáticos es de interés intrínseco, no porque cada teorema sea parte de una misión mayor para probar todas las afirmaciones verdaderas.

¿Por qué hay una búsqueda de pruebas incluso cuando sabemos que muchas afirmaciones verdaderas no pueden ser probadas? Porque las pruebas proporcionan una resolución cierta y definitiva a un problema. Por ejemplo, considere el Teorema de los cuatro colores. El Teorema de los cuatro colores establece que cualquier mapa plano que satisfaga ciertas condiciones básicas puede colorearse como máximo con cuatro colores, de modo que no haya dos regiones adyacentes que tengan el mismo color. Sin el teorema en la mano, podríamos tener la tarea de colorear un mapa bastante complicado sin la certeza de que podría hacerse con solo cuatro colores. Con la prueba conocida, no queda incertidumbre. Si bien la prueba en este caso no proporciona un algoritmo de tal coloración, sí garantiza que se puede encontrar una coloración.

Espero que este ejemplo señale por qué las pruebas se consideran útiles, aunque sabemos que hay declaraciones verdaderas que no serán demostrables.

Answer 3

No sé qué “más” está haciendo en esa pregunta. Gödel en realidad no mostró que más de una proposición sea cierta (aunque no demostrable) para un sistema deductivo dado. Si adjuntas un nuevo axioma para aclarar ese asunto, ahora tienes un nuevo sistema.

No hay ninguna razón por la que debamos desesperarnos por la prueba porque algunas proposiciones verdaderas no son demostrables (es decir, la lógica de primer orden requiere una lógica de segundo orden para completar, y la lógica de segundo orden es fundamentalmente insoluble). Si desea disolver la necesidad de una lógica de segundo orden, eso debe ser molesto. Alternativamente, puede considerar la integridad de un sistema deductivo de algún otro sistema deductivo. No hay ningún problema especial en eso. Entonces, el alcance de un matemático excede su alcance, cuando se trata de lógica de segundo orden, ¿verdad? ¿Es eso algo malo? ¿Y la integridad es, después de todo, más completamente revelada desde afuera de un sistema que la que se puede establecer desde adentro? Eso me parece interesante, no frustrante.

Aquí no pasa nada que desafíe la prueba, en principio o en la práctica. Algunos programas teóricos en lógica matemática han tenido que ser abandonados; No veo que lo que los ha reemplazado sea menos interesante o menos “a prueba”.