¿Cómo puedo probar que [matemáticas] 1+ \ frac12 + \ frac13 + \ frac14 + \ cdots + \ frac1n = \ ln n + c [/ math]?

Answer 1

No puede probar esto porque es una afirmación sin sentido o, si se interpreta de forma natural, es falsa o trivial.

Nunca deje variables libres por ahí .

Su declaración involucra dos variables, [matemática] n [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática], y nunca explica lo que se supone que son. La mayoría de las personas interpretaría su reclamo de una de dos maneras:

1. Hay un número, [math] c [/ math], de modo que por cada entero positivo [math] n [/ math], la suma [math] 1 + 1/2 + 1/3 + \ ldots + 1 / n [/ math] es igual a [math] \ ln n + c [/ math].
2. Por cada entero positivo [matemática] n [/ matemática], hay un número [matemática] c [/ matemática] tal que la suma [matemática] 1 + 1/2 + 1/3 + \ ldots + 1 / n [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] \ ln n + c [/ matemáticas].

Estas dos son oraciones significativas, y de hecho, la primera es falsa (¿por qué?) Y la segunda es verdadera pero también es completamente desinteresada (¿por qué?)

Creo que comprender estas cosas sería al menos tan valioso para el OP (y algunos lectores) como una solución a la pregunta real que se hace aquí.

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Okay. Aquí está la declaración correcta, que es de lo que probablemente se trataba la pregunta:

Hay un número real positivo [matemática] c [/ matemática] tal que

[matemáticas] \ displaystyle 1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ ldots + \ frac {1} {n} = \ ln n + c + o (1) [/ math] .

(Tenga en cuenta que la variable [matemática] n [/ matemática] no está libre en esta oración. Debido a esto [matemática] o (1) [/ matemática], esta es realmente una declaración sobre el límite cuando [matemática] n [/ matemáticas] tiende al infinito)

Si no está familiarizado con la notación little- [math] o [/ math], esto simplemente dice que

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ ldots + \ frac {1} {n} – \ ln n -c \ right) = 0 [/ math]

o, en otras palabras,

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ ldots + \ frac {1} {n} – \ ln n \ right) = c [/ math].

El número [math] c [/ math] se llama constante de Euler-Mascheroni [1] (pronunciado “Oiler-Maskeroni”), y generalmente se denota por [math] \ gamma [/ math].

Para ahorrar espacio, asignemos un nombre a la suma de los recíprocos de los primeros enteros positivos [matemáticos] n [/ matemáticos]:

[matemáticas] \ displaystyle H_n = 1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ ldots + \ frac {1} {n} [/ matemáticas]

Debe tener en cuenta el hecho de que la secuencia [math] H_n [/ math] aumenta sin límite, aunque crece bastante lentamente. De hecho, ahora vamos a demostrar que está muy cerca de [math] \ ln (n) [/ math], el logaritmo natural de [math] n [/ math].

Veamos la secuencia de números [matemáticas] a_n = H_n- \ ln (n) [/ matemáticas]. Se supone que debemos mostrar que esta secuencia converge a un número real positivo, que es [math] \ gamma [/ math]. Si nos fijamos en los primeros términos,

[matemáticas] a_1 = 1- \ ln (1) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a_2 = 1+ \ frac {1} {2} – \ ln (2) \ aprox. 0.807 [/ matemáticas]

[matemáticas] a_3 = 1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} – \ ln (3) \ aprox 0.735 [/ matemáticas]

podemos llevarnos a conjeturar que estos números están disminuyendo constantemente, lo cual es el caso:

[matemáticas] \ displaystyle a_n – a_ {n-1} = \ frac {1} {n} – \ ln (n) + \ ln (n-1) = \ frac {1} {n} + \ ln (1 – \ frac {1} {n}) [/ matemáticas]

y este es un número negativo para cada [matemática] n [/ matemática]. La forma en que demuestre esto depende de cómo haya definido la función [math] \ ln [/ math] y de lo que sepa al respecto. Por ejemplo, si está familiarizado con la serie Taylor de [matemáticas] \ ln (1 + t) [/ matemáticas] alrededor de [matemáticas] t = 0 [/ matemáticas], encontrará

[matemática] \ ln (1-t) = – t- \ frac {t ^ 2} {2} – \ frac {t ^ 3} {3} – \ ldots <-t [/ math]

Alternativamente, puede saber que [math] e ^ {- x} \ geq1-x [/ math] para cada [math] x [/ math], y tomar logaritmos ([math] \ ln [/ math] es obviamente monótono , para que podamos aplicar a una desigualdad) obtienes [math] -x \ geq \ ln (1-x) [/ math] que es lo que queríamos.

Entonces, la secuencia [math] a_n-a_ {n-1} [/ math] está disminuyendo, pero por otro lado la secuencia

[matemáticas] b_n = H_n- \ ln (n + 1) [/ matemáticas]

está aumentando monotónicamente , por la misma razón, y claramente [matemáticas] b_n <a_n [/ matemáticas] para todas [matemáticas] n [/ matemáticas]. Finalmente, la brecha entre esas secuencias es [matemática] \ ln (n + 1) – \ ln (n) [/ matemática] que tiende a [matemática] 0 [/ matemática] como [matemática] n [/ matemática] tiende a infinito (¿por qué?), lo que demuestra que tanto [math] a_n [/ math] como [math] b_n [/ math] convergen en algunos números que se encuentran entre ellos. Este número es, por lo tanto, nuestro [math] \ gamma [/ math]. QED

Notas al pie

[1] Constante Euler-Mascheroni – Wikipedia

Answer 2

La serie se llama Serie armónica .

Es posible demostrar que la serie armónica diverge al comparar su suma con una integral impropia. Específicamente, considere la disposición de los rectángulos que se muestran en la figura a continuación. Cada rectángulo tiene 1 unidad de ancho y 1 / n unidades de alto, por lo que el área total del número infinito de rectángulos es la suma de las series armónicas:

[matemáticas] {\ displaystyle {\ begin {array} {c} {\ text {area of}} \\ {\ text {rectangles}} \ end {array}} = 1 + {\ frac {1} {2} } + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} + \ cdots} [/ math]

Además, el área total bajo la curva y = 1 / x de 1 a infinito está dada por una integral impropia divergente:

[matemáticas] {\ displaystyle {\ begin {array} {c} {\ text {area under}} \\ {\ text {curve}} \ end {array}} = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x}} \, dx = \ infty.} [/ math]

Dado que esta área está completamente contenida dentro de los rectángulos, el área total de los rectángulos también debe ser infinita. Más precisamente, esto prueba que

[matemáticas] {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {k} {\ frac {1} {n}}> \ int _ {1} ^ {k + 1} {\ frac {1} {x} } \, dx = \ ln (k + 1).} [/ math]

Answer 3

El resultado neto es, por supuesto, el mismo que demostró el Sr. Amit en su respuesta: solo llegamos a través de un camino ligeramente diferente, admitiendo, confiando en el hecho de que la siguiente serie:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ dfrac {1} {n ^ 2} \ tag {1} [/ matemáticas]

converge (a [matemáticas] \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]).

Considere una serie algo diferente pero relacionada:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ Big (\ dfrac {1} {n} – \ ln \ dfrac {n + 1} {n} \ Big) \ tag {2} [/matemáticas]

y observe que la función [math] f (x) = \ ln (x) – x [/ math]:

tiene como primera derivada con respecto a [math] x [/ math]:

[matemáticas] f_x ‘(x) = \ dfrac {1} {x} – 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

lo que significa que para [math] x \ in (0, 1] [/ math] la derivada no es negativa: la función está aumentando monotónicamente, para [math] x \ in [1, + \ infty) [/ math] la la derivada no es positiva: la función está disminuyendo monotónicamente y en [matemática] x_0 = 1 [/ matemática] la derivada cambia su signo de positivo a negativo; en ese punto, la función alcanza su máximo [matemática] f (x_0 = 1) = -1 [/ math] y, en general, para [math] x> 0 [/ math]:

[matemáticas] \ ln (x) \ leqslant x – 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Reemplace [math] x [/ math] con [math] x + 1 [/ math] arriba (por supuesto [math] x \ neq 0, -1

[matemáticas] \ ln (x + 1) \ leqslant x \ tag {3} [/ matemáticas]

Volver a la serie ( 2 ). Debido a ( 3 ) para lo suficientemente grande [math] n [/ math] s la siguiente desigualdad puede hacerse estrictamente segura y podemos reescribir el segundo término en ( 2 ) como:

[matemáticas] \ ln \ dfrac {n + 1} {n} = \ ln \ Big (1 + \ dfrac {1} {n} \ Big) <\ dfrac {1} {n} \ tag {4} [/ matemáticas]

Pero:

[matemáticas] \ ln \ dfrac {n + 1} {n} = – \ ln \ dfrac {n} {n + 1} = \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ ln \ Big (1 – \ dfrac {1} {n + 1} \ Big)> \ dfrac {1} {n + 1} \ tag {5} [/ math]

por, nuevamente, ( 3 ). Multiplica ambos lados de ( 5 ) por [matemáticas] -1 [/ matemáticas]:

[matemáticas] – \ ln \ dfrac {n + 1} {n} <- \ dfrac {1} {n + 1} \ tag {6} [/ matemáticas]

Por lo tanto, debido a ( 4 ):

[matemáticas] \ dfrac {1} {n} – \ ln \ dfrac {n + 1} {n}> 0 \ etiqueta {7} [/ matemáticas]

Combina ( 7 ) con ( 6 ):

[matemáticas] 0 <\ dfrac {1} {n} - \ ln \ dfrac {n + 1} {n} <\ dfrac {1} {n} - \ dfrac {1} {n + 1} = \ dfrac { 1} {n (n + 1)} <\ dfrac {1} {n ^ 2} \ tag * {} [/ matemáticas]

o:

[matemáticas] 0 <\ dfrac {1} {n} - \ ln \ dfrac {n + 1} {n} <\ dfrac {1} {n ^ 2} \ tag * {} [/ matemáticas]

Por lo tanto, la serie ( 2 ) converge y para sus sumas parciales tenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ Big (\ dfrac {1} {k} – \ ln \ dfrac {k + 1} {k} \ Big) = H_n – \ ln (n +1) = \ gamma + \ gamma_n \ tag * {} [/ math]

donde [math] \ gamma [/ math] es la constante de Euler-Mascheroni y:

[math] \ displaystyle \ lim_ {n \ to + \ infty} \ gamma_n = 0 \ tag * {} [/ math]

Cuando [math] n [/ math] tiende a infinito positivo, podemos reemplazar con seguridad [math] \ ln (n + 1) [/ math] con [math] \ ln (n) [/ math] debido a su diferencia:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to + \ infty} \ ln (n + 1) – \ ln (n) = \ lim_ {n \ to + \ infty} \ ln \ Big (1+ \ dfrac {1 } {n} \ Big) = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Por lo tanto, obtenemos esta notable fórmula:

[matemáticas] H_n = \ ln (n) + \ gamma + \ gamma_n \ tag * {} [/ matemáticas]

que, básicamente, nos dice que las sumas armónicas parciales crecen como [math] \ ln (n) [/ math].