¿Alguien puede ofrecer una prueba lógica de cómo la curva de una función puede aumentar sin límites sin nivelarse o curvarse sobre sí misma?

Answer 1

Hablemos de la función f (x) = 2x.

Veamos si posee las propiedades que solicitó.

• ¿Aumenta sin límite? Sí, su límite en el infinito es [matemáticas] 2 * \ infty = \ infty. [/ math] Parece estar bien.
• ¿Se nivela? Su derivada es f ‘(x) = 2, que tiene un límite en el infinito de, bueno, 2. Si la función se estabiliza, entonces el límite de su derivada en el infinito sería cero, por lo que claramente esta función no hace eso .
• ¿Falla la prueba de línea vertical? Seguramente no, si lo hiciera, fallaría la prueba de línea vertical y, por lo tanto, ¡ni siquiera podría ser una función!

Por lo tanto, esta función satisface sus requisitos; de hecho, cualquier línea recta lo hará.

Answer 2

Nota: Hice algunas aclaraciones en los comentarios de otra respuesta que ofrecen un poco más de reflexión. La palabra clave en mi pregunta fue ” curva “. Imagine la descripción en mi pregunta como dos parábolas superpuestas que forman un círculo con sus vértices. Mientras que la tasa de cambio en la curvatura del círculo permanece constante, la tasa de cambio en la curvatura de la parábola aparentemente disminuye a una tasa exponencial. A medida que la tasa de cambio de la parábola se aproxima al infinito, ¿no debería la lógica dictar que alcanzará un punto donde la tasa si el cambio se vuelve insignificante con respecto al tamaño de la gráfica, o la gráfica comienza a curvarse hacia arriba / abajo sobre sí misma? ?

Los dos factores que crean la diferencia entre la parábola y el círculo son el mayor desplazamiento a lo largo del eje xy la disminución de la curvatura general . La tasa de desplazamiento desde el eje y permanece constante, como es de esperar, sin embargo, la tasa de desplazamiento desde el origen debe ser calculable por el límite de la suma de ((xi- (xi-1)) ^ 2- (f (xi) -f (xi-1)) ^ 2) ^ 1/2. Si la curvatura disminuye a una velocidad constante, entonces deberíamos poder predecir una asíntota horizontal en un valor equivalente al infinito, mientras que un aumento constante en el desplazamiento a lo largo del eje x en relación con el desplazamiento de la salida desde el origen debería conducir lógicamente a una asimetría vertical. Esto podría visualizarse más fácilmente imaginando un aumento en la curvatura, donde en última instancia uno esperaría que la curva se estabilizara en algún valor de y, o que invirtiera la dirección en la misma naturaleza que un círculo o una elipse.

Personalmente, no tengo el conocimiento para continuar explorando esto, y estoy más interesado en ver una prueba lógica de cómo puede ser posible un comportamiento ilimitado. Sin embargo, mi comprensión personal es que la relación entre desplazamiento y tasa de cambio es la solución a esto.

Answer 3

Puede que se esté refiriendo al concepto de un círculo tangente a una curva. Esto se trata en cálculo. Se puede demostrar que el radio de este círculo aumenta indefinidamente en una asíntota hacia la singularidad.