¿Qué es una prueba de la regla de L’Hopital?

Answer 1

Las pruebas se pueden encontrar aquí: la regla de L’Hôpital

Pero como un bosquejo impreciso de la idea:
Tener [matemáticas] f (c) = g (c) = 0 [/ matemáticas]

Si [matemáticas] x \ neq c [/ matemáticas]

entonces
[matemáticas] \ frac {f (x)} {g (x)} = \ frac {f (x) -f (c)} {g (x) -g (c)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {\ frac {f (x) -f (c)} {xc}} {\ frac {g (x) -g (c)} {xc}} [/ math]

Y tomas el límite. Sin embargo, eso es solo una discusión. Wiki tiene algo más riguroso.

Otra forma de pensarlo es geométricamente.

Para un límite, solo le interesa lo que está sucediendo en un pequeño vecindario de su punto límite.

Como sabe, al acercar una curva, se “endereza”. Esa es la idea con la linealización.

Entonces, si haces una linealización cerca de [math] x = c [/ math], obtienes:
[matemáticas] f (x) \ aprox. f (c) + f ^ {‘} (c) {(xc)} [/ matemáticas]
[matemáticas] g (x) \ aprox. g (c) + g ^ {‘} (c) (xc) [/ matemáticas]

Pero [matemáticas] f (c) = g (c) = 0 [/ matemáticas], entonces:
[matemáticas] f (x) \ aprox. f ^ {‘} (c) (xc) [/ matemáticas]
[matemáticas] g (x) \ aprox g ^ {‘} (c) (xc) [/ matemáticas]

Entonces, para [matemáticas] x \ neq c [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ frac {f (x)} {g (x)} \ aprox \ frac {f ^ {‘} (c) \ sout {(xc)}} {g ^ {‘} (c) \ sout { (xc)}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {f ^ {‘} (c)} {g ^ {‘} (c)} [/ matemáticas]

Answer 2

Quiere mostrar [matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow c} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ lim_ {x \ rightarrow c} \ frac {f ‘(x)} {g’ ( x)} [/ math], donde [math] f (c) = g (c) = 0 [/ math].

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow c} \ frac {f ‘(x)} {g’ (x)} = \ lim_ {x \ rightarrow c} \ frac {\ lim_ {y \ rightarrow 0} \ frac { f (x + y) -f (x)} {y}} {\ lim_ {y \ rightarrow 0} \ frac {g (x + y) -g (x)} {y}} [/ math] [math ] = \ lim_ {x \ rightarrow c} \ lim_ {y \ rightarrow 0} \ frac {f (x + y) -f (x)} {g (x + y) -g (x)} [/ math]

[matemáticas] = \ lim_ {x \ rightarrow c} \ lim_ {y \ rightarrow c} \ frac {f (x + yc) -f (x)} {g (x + yc) -g (x)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ lim_ {y \ rightarrow c} \ lim_ {x \ rightarrow c} \ frac {f (x + yc) -f (x)} {g (x + yc) -g (x)} [/ matemáticas] [matemáticas]
= \ lim_ {y \ rightarrow c} \ frac {f (y) -f (c)} {g (y) -g (c)} = \ lim_ {y \ rightarrow c} \ frac {f (y)} {g (y)} [/ matemáticas]

Answer 3

Para probar la regla del Hospital L, uno necesita conocer el teorema de expansión de Taylor.

---

Siéntete libre de comentar si no entiendes mi letra.