Solo es circular si el teorema de Rolle se prueba a partir del Teorema del valor medio. El teorema de Rolle siempre se prueba antes del MVT y sin referencia al MVT.
Es un caso especial del MVT. La razón principal por la que se menciona es porque es más fácil probar este caso especial, luego usarlo (teorema de Rolle) para probar el caso general (MVT).
De las notas de mi curso de cálculo:
El teorema de Rolle dice que si una función es continua en un intervalo cerrado y diferenciable en su interior, y toma el mismo valor en ambos puntos finales del intervalo, entonces en algún lugar del intervalo abierto la función tiene una derivada cero.
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El teorema de Rolle se desprende del EVT que garantiza que la función tiene un valor máximo y un valor mínimo, y la nota anterior que dice que la derivada debe ser 0 en tal extremo si ocurre en un punto interior. Pero si ambos extremos ocurren en los puntos finales, entonces, dado que la función tiene el mismo valor en ambos puntos finales, la función es constante, por lo que la derivada es 0 en cada punto interior.
El EVT, Teorema del valor extremo, depende de la integridad de los números reales. La “nota anterior” en la cita es el teorema que dice “si una función [matemática] f [/ matemática] adquiere un valor extremo (ya sea un máximo o un mínimo) en el punto [matemática] x_0 [/ matemática] en un intervalo abierto, entonces la derivada de [math] f [/ math] no puede ser positiva o negativa, y por lo tanto, suponiendo que [math] f [/ math] tiene una derivada allí, la derivada debe ser [math] 0 [/ matemática] “. Ese teorema en sí se deriva de un lema técnico que dice” si [matemática] f ′ (x_0) [/ matemática] es positiva, entonces para [matemática] x [/ matemática] cercana pero menor que [matemática] x_0 [ / matemática] los valores [matemática] f (x) [/ matemática] serán menores que [matemática] f (x_0) [/ matemática], pero para [matemática] x [/ matemática] cercana pero mayor que [matemática] x_0 [/ math], los valores de [math] f (x) [/ math] serán mayores que [math] f (x_0) [/ math] ”. El lema técnico utiliza las definiciones de derivada y límite.
Por lo tanto, la lógica que implica probar el MVT comienza con axiomas de números reales, definiciones de límites y derivadas, pasa por un lema técnico, otro teorema, el teorema de Rolle y finalmente el MVT.