Es un ejercicio de Vieta Jumping (¿Alguien puede explicar Vieta Jumping?).
Supongamos que hay un par de constantes distintas [math] (A, B) [/ math] para las cuales [math] n [/ math] toma un cierto valor entero, y que ese par también sea mínimo de todos esos pares para un cierto valor de [math] n [/ math], es decir, tener el [math] A + B más pequeño [/ math]. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer [matemáticas] A> B [/ matemáticas]. Ahora, reemplace [math] A [/ math] con [math] x [/ math] y exprese la definición inicial de [math] n [/ math] como cuadrática en términos de [math] x [/ math]. Obtenemos
[matemáticas] x ^ 2-nBx + B ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]
Una raíz de esta cuadrática es [matemática] A [/ matemática], y la otra se puede expresar usando las fórmulas de Vieta como [matemática] x_2 = nB-A = \ frac {B ^ 2 + 1} {A} [/ matemática] . Entonces es un entero positivo (segunda igualdad) (primera igualdad).
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¿Qué es más grande, [matemáticas] x_2 [/ matemáticas] o [matemáticas] A [/ matemáticas]? Si [matemática] A> B [/ matemática], [matemática] \ frac {B ^ 2 + 1} {A} <A [/ matemática], entonces el par [matemática] (x_2, B) [/ matemática] que también da el cociente [matemáticas] n [/ matemáticas] sería mínimo en términos de suma ([matemáticas] x_2 + B [/ matemáticas]), lo que contradice nuestra suposición. Por lo tanto, no puede haber un par mínimo de constantes distintas [matemáticas] a, b [/ matemáticas] para las que [matemáticas] n [/ matemáticas] es un número entero.
Umm … así que si hay un par mínimo de [matemáticas] a, b [/ matemáticas], no puede ser [matemáticas] a \ neq b [/ matemáticas].
Si [matemática] a = b [/ matemática], obtenemos [matemática] n = 2 + \ frac {1} {a ^ 2} [/ matemática] que equivale a 3 en su único caso entero ([matemática] a = 1 [/matemáticas]). Ningún otro valor de [math] n [/ math] es alcanzable, ya que no podemos tener un par mínimo que lo genere.
Esencialmente, es lo que dice la solución del Ejemplo 2 en Vieta Jumping.pdf también.