¿Cómo se puede probar que si las raíces de [matemáticas] x ^ 3 – ax ^ 2 + bx – c [/ matemáticas] están en una secuencia aritmética entonces [matemáticas] 2a ^ 3 – 9ab + 27c = 0 [/ matemáticas]?

Answer 1

Ya se han proporcionado algunas pruebas, pero retrocedamos y pensemos por qué existiría tal fórmula. Estamos comparando dos cosas: el polinomio x ^ 3 – ax ^ 2 + bx – c, y las raíces p, q, r de este polinomio. De a, b, c es muy difícil encontrar p, q, r, por lo que seguir esta ruta no es bueno, aunque un sistema de álgebra por computadora podrá hacerlo. Por otro lado, al conocer p, q, r sabemos que los factores polinomiales como (xp) (xq) (xr) son a = p + q + r y b = pq + qr + rp y c = pqr.

Entonces, conociendo a, b, c, podemos responder muchas preguntas sobre las raíces. ¿Cuál es su suma: a. ¿Cuál es su producto? C. Solo tiene sentido preguntar cosas que son “simétricas” en las raíces, por lo que no podemos preguntar qué es p + q, pero cualquier polinomio simétrico puede construirse a partir de ab y c. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de las raíces? Bueno, eso es p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2 = a ^ 2-2b.

Ahora finalmente a la pregunta original. Cuando son p, q, r en progresión aritmética. Esto es si y solo si p + q = 2r o q + r = 2p o r + p = 2q. Esto es si y solo si 0 = (p + q-2r) (q + r-2p) (r + p-2q). Este es un polinomio simétrico de grado 3, por lo que puede construirse a partir de a, b, c de alguna manera, y comparar grados sería una suma de a ^ 3, ab y c. Entonces, sin hacer álgebra, sabemos que para algunas constantes K, L, M la condición es equivalente a 0 = K a ^ 3 + L ab + M c. Ahora, solo necesitamos encontrar K, L, M, pero multiplicar y comparar coeficientes suena aburrido, así que intentemos con diferentes polinomios como x ^ 3-1, x ^ 3-x ^ 2 y (x- 1) ^ 3 y eso te dará inmediatamente lo que K, L, M deberían ser.

Answer 2

Una solución simple de este problema sería asumir que las raíces de esta ecuación son iguales y proceder, pero en ese caso las raíces pueden estar en cualquier secuencia, así que supongamos que una raíz es 0 (porque siempre podemos cambiar una secuencia aritmética para que comience de cero restando su primer término de cada número de la secuencia) y otras raíces para ser ‘d’ y ‘-d’ .

a = -d + 0 + d = 0
b = (-d) (0) + (d) (0) + (- d) (d) = d ^ 2
c = (-d) (0) (d) = 0

Así 2a ^ 3 – 9ab + 27c = 0

Answer 3

Deje que las raíces sean [matemáticas] r – d, r, r + d [/ matemáticas]. Entonces tenemos [matemáticas] (x – (r – d)) (x – r) (x – (r + d)) = x ^ 3 – 3rx ^ 2 + (3r ^ 2 – d ^ 2) x – ( r ^ 3 – d ^ 2r) [/ matemáticas]. Entonces [matemática] a = 3r [/ matemática], [matemática] b = 3r ^ 2 – d ^ 2 [/ matemática] y [matemática] c = r ^ 3 – d ^ 2r [/ matemática]. Enchufando, obtenemos [matemática] 2a ^ 3 – 9ab + 27c = 0 [/ matemática].

Answer 4

Como (x + a) (x + b) (x + c) = x ^ 3 + (a + b + c) x ^ 2 + (ab + bc + ac) x + abc,

Sean A, B y C las raíces de x ^ 3 – ax ^ 2 + bx – c = 0

(x + A) (x + B) (x + C) = x ^ 3 + (A + B + C) x ^ 2 + (AB + BC + AC) x + ABC

Por lo tanto a = – (A + B + C), b = (AB + BC + AC), c = -ABC

Sin pérdida de generalidad, dejemos que A, B y C estén en secuencia aritmética, en orden ascendente, donde d es la diferencia entre números sucesivos:

a = – ((Bd) + B + (B + d) = -3B
b = (Bd) B + B (B + d) + (Bd) (B + d) = (B ^ 2 – db) + (B ^ 2 + dB) + (B ^ 2 – d ^ 2) = 3B ^ 2 – d ^ 2
c = (Bd) B (B + d) = B ^ 3 + Bd ^ 2

Entonces…

2a ^ 3 = 2 (-3B) ^ 3 = -54B ^ 3
-9ab = -9 (-3B) (3B ^ 2-d ^ 2) = 81B ^ 3 – 27Bd ^ 2
27c = 27B ^ 3 + 27Bd ^ 2

Por lo tanto, sumando 2a ^ 3 + (-9ab) + 27c = 0!

Answer 5

Answer 6

El gran problema que puedo ver con las respuestas hasta ahora (y esto no pretende ser nada en contra de los que responden), es que las soluciones son solo verificaciones del resultado. Donde esa expresión [matemática] 2a ^ 3 – 9ab + 27c = 0 [/ matemática] proviene en primer lugar, se convierte en un misterio críptico que llega por arte de magia.

Pero no es magia. Corresponde a un conjunto de términos en la expresión general para la solución de un cúbico:
Función cúbica

Tenga en cuenta que debe hacer algunas sustituciones, porque la fórmula cúbica en ese sitio se basa en:
[matemáticas] ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 [/ matemáticas], que es un poco diferente de lo que tenemos aquí.

Entonces, creo que tal vez la ruta real (sin juego de palabras) para resolver este problema es ir a esa fórmula cúbica, modificarla en línea con este cúbico que tenemos aquí y luego aplicar la condición de que las raíces estén espaciadas de manera uniforme.

Y luego (no tengo el tiempo o la inclinación en este momento), creo que eso llevará a la conclusión de que [matemáticas] 2a ^ 3 – 9ab + 27c = 0 [/ matemáticas].