¿Cuáles son los usos prácticos del último teorema de Fermat dada la amplia atención que ha recibido de la comunidad matemática?

Answer 1

Hay una serie de problemas en matemáticas que han llamado la atención porque parecen ser fáciles de resolver, pero resultan ser extremadamente difíciles. Lo que sucede entonces fue probablemente mejor descrito por Randall Monroe: xkcd: Nerd Sniping. FLT es seguramente el problema más conocido, pero hay otros, como la conjetura de Collatz (por cierto, también mencionada por Monroe: Conjetura de Collatz). Conozco a varios matemáticos que realmente entraron en 2048; uno de ellos quería ejecutar un algoritmo de fuerza bruta para encontrar la mejor estrategia para ganar el juego, se dio cuenta de que tendría que hacerlo en el orden de 10 ^ 16 cálculos para hacerlo. , y así comenzó a planear cómo podría obtener acceso a una supercomputadora para hacerlo.

Mi asesor realmente trabajó en la Conjetura de Collatz, en particular (para aquellos que tienen curiosidad) demostró (junto con Steven Miller) que las secuencias producidas por el mapa 3x + 1 eran Benford ([matemáticas / 0412003] Ley de Benford, valores de funciones L y el problema 3x + 1). Sin embargo, se le aconsejó que volviera a las “matemáticas reales”.

Ese último bit es en realidad bastante indicativo de lo que está sucediendo. Los matemáticos trabajan en problemas de este tipo por diversión, pero por lo general lo hacen a un lado, como un pasatiempo, por así decirlo. Rara vez es rentable dedicarle más tiempo. Los teoremas matemáticos casi nunca existen en el vacío: son de interés porque encajan en una teoría más amplia que le dice cómo resolver una variedad de problemas. FLT realmente no encajaba en ningún marco de este tipo (no era una ecuación de Diophantine que la gente se moría de ganas de resolver), y por esa razón, nadie tenía la confianza real de que FLT se resolvería … hasta 1984.

¿Qué cambió en 1984? Gerhard Frey notó que había una conexión entre la ecuación [matemáticas] a ^ n + b ^ n = c ^ n [/ matemáticas] y la teoría de las curvas elípticas, específicamente, notó que si había una solución no trivial [ matemáticas] (a, b, c) [/ matemáticas], entonces la curva elíptica [matemáticas] y ^ 2 = x (x – a ^ n) (x + b ^ n) [/ matemáticas] tendría algunas propiedades muy extrañas . 1986, Ken Ribet hizo esta observación rigurosa, y al hacerlo redujo el FLT a una conjetura bien conocida (pero a partir de entonces abierta) sobre las curvas elípticas. Tan pronto como esto sucedió, se probaría que ese FLT cambió de inverosímil a casi inevitable. A diferencia de FLT, las curvas elípticas se entrelazan con muchos campos matemáticos diferentes, y probar conjeturas sobre ellas conduciría a muchos resultados e instrumentos nuevos e interesantes (incluso en el mundo real, como sucede, ya que las curvas elípticas se usan en criptografía).

De hecho, en 1993 Andrew Wiles demostró el caso especial necesario de la conjetura de Taniyama-Shimura, de la cual FLT fue un corolario inmediato. (Aunque, para ser completamente exactos, la prueba original de Andrew tenía un error, que logró reparar en 1994).

Answer 2

A veces, el viaje es más importante que el destino. 🙂

El último teorema de Fermat. Continúa tan simple como:
[matemáticas] a ^ n + b ^ n! = c ^ n [/ matemáticas]

Si tan solo fuera tan trivial como Fermat pensó que era.

Ahh La declaración es hermosa en su simplicidad. ¿Pero usos prácticos, preguntas?

Por desgracia, esa es una pregunta que los entusiastas de la teoría de los números de todo el mundo te ruegan que no hagas. A menudo se bromea, ¡demuestra que [math] \ sqrt [n] {2} [/ math] es irracional! para n> 2.

La razón detrás de pasar tanto tiempo en problemas “poco prácticos” tiene más que ver con su belleza que con sus aplicaciones. Al igual que apreciamos una pintura bien dibujada o buenas películas, de la misma manera que estos problemas agregan belleza al arte de las matemáticas.

¡En este documental aquí puedes sentir la emoción de Wile con respecto al problema y puedes sentir lo intrigado que debe haber estado de dedicar una gran parte de la vida a esta prueba!
El último teorema de Fermat – Profesor Andrew Wiles

Además, en problemas como estos, en la búsqueda de una solución, a menudo surgen varios resultados tangiblemente útiles que son útiles y conducen al descubrimiento de otros hechos profundos en el tema. Por ejemplo, la prueba del último teorema de Fermat ha arrojado varios resultados concluyentes en geometría algebraica, teoría de números algebraicos y el teorema de modularidad.

Sin embargo. Hay algunas aplicaciones notables:
Física:
Ver Supersymmetry Breakings y el último teorema de Fermat , Hitoshi Nishino, Mod.Phys.Lett. A 10 (1995) 149-158.
Curvas elípticas
Ver [1206.1822] Ejemplos de superficies abelianas no simples sobre los racionales con grupo Tate-Shafarevich de orden no cuadrado

Además, hizo famoso a Andrew Wiles. 😀

Answer 3

Supongamos que tiene tres contenedores de cubos hechos de azulejos de tamaño medible (digamos 1 cm), si llenara dos de los contenedores de cubos con agua, ¿podría llenar el tercer contenedor de cubos con el agua que puso en esos dos cubos? No. Es decir, no importa el tamaño de los contenedores de cubos que use. Pero, el último teorema de Fermat es solo un caso especial de la Conjetura de Beal (BC). Y, actualmente no tenemos pruebas de (BC).

Pero, la verdad es que no sabemos qué aplicaciones son porque hay muy pocas personas que realmente entienden la prueba existente del último teorema de Fermat. En el camino se inventaron muchas nuevas técnicas de prueba y, de hecho, gran parte de las matemáticas fue el resultado de personas que intentaron responder a los diversos problemas que propusieron Fermat y otros.

En cierto sentido, una prueba es lo mínimo que necesita para comprender un reclamo. Una vez que tenga una prueba, debe preguntar, ¿qué significa realmente esta prueba? ¿Cuáles son sus implicaciones? Y que todavía estamos tratando de descubrir el último teorema de Fermat y muchos otros teoremas.

De hecho, a las personas les llevó más de 2000 años comprender la importancia del teorema de Pitágoras. Ahora tenemos millones de aplicaciones de ese teorema. No dudo que el último teorema de Fermat será similar. Pasarán otros 50-100 años antes de que comprendamos su importancia. Es posible que los humanos simplemente no tengan la capacidad mental de comprender lo que realmente significa. Puede ser necesaria una inteligencia de máquina genio (o posiblemente humana) para finalmente poder entender el verdadero significado del Último Teorema de Fermat.

Answer 4

No es solo el último teorema de Fermat el que carece de utilidad práctica. Casi toda la “matemática pura” continúa sin ninguna expectativa de que el trabajo resulte en algo valioso. Decenas de miles de matemáticos trabajan en ello todos los días. FLT es justo del que has oído hablar.

FLT recibe mucha atención porque parece muy accesible. La forma básica de esto requiere nada más que matemáticas de primaria. Con los teoremas elementales de la teoría de números, parece que una prueba debería ser bastante fácil. Ciertamente no es el trabajo de cientos de páginas que se basan en el trabajo de siglos de matemáticos. Eso es enloquecedor y fascinante.

FLT puede haber recibido más de su parte de atención de los matemáticos, ya que muchos de ellos se interesaron en el campo al considerar precisamente esa pregunta. Pero la mayoría se fue a hacer un trabajo completamente no relacionado, la mayoría de los cuales no tiene una aplicación más obvia que FLT.

Y es bueno que lo hagan. En parte, es porque a veces resulta que tiene aplicaciones prácticas que nadie podría haber imaginado entrar en él. La criptografía (incluido el descifrado de códigos) y las comunicaciones se han basado en resultados de las matemáticas que parecían completamente abstractos en el momento de su creación. En términos de valor monetario, esas cosas por sí solas han justificado todo el campo miles de veces.

Sin embargo, la mayoría de las matemáticas nunca resultarán en aplicaciones. Y eso está bien. En parte porque puede, pero en parte porque es parte de explorar nuestro mundo. La ciencia está escrita en el lenguaje de los números, e incluso si nuestra exploración de los números se aleja mucho de la ciencia, aprender el idioma tiene un valor propio. Nos habla de nosotros mismos.

En eso, actúa casi más como un arte que como una ciencia; persigue cosas de interés para los humanos porque somos humanos. FLT era una actividad muy humana: ¿por qué un teorema tan simple es tan difícil? ¿Qué nos dice eso, si es que hay algo, sobre las matemáticas y el universo? No tenemos una buena respuesta a esa pregunta, pero la historia de las matemáticas sugiere que vale la pena explorarla.

Answer 5

No tiene usos prácticos y nadie está perdiendo el tiempo tampoco.

El punto de las matemáticas no es que sea útil, sino que es hermoso.

O, como dijo Richard Feynman sobre física:

“La física es como el sexo; claro, puede dar algunos resultados prácticos, pero no es por eso que lo hacemos”

Si crees que la gente estaba perdiendo el tiempo probando el teorema de Fermat, entonces deberías pensar que Mozart estaba perdiendo el tiempo escribiendo sinfonías.

Answer 6

El último teorema de Fermat demostró ser un “problema difícil”. Para resolver un problema difícil, los matemáticos tienen que desarrollar nuevas matemáticas.

Si bien puede no haber una aplicación directa del teorema:
a ^ n + b ^ n = c ^ n no tiene una solución racional para n> 2.
Pero probablemente habrá aplicaciones de las nuevas matemáticas.

Los matemáticos puros no hacen matemáticas con la vista puesta en la aplicación. Hacen matemáticas por la pura matemática de la misma. Sin embargo, todo lo descubierto finalmente encuentra su aplicación.

George Boole, aunque había hecho algo brillante al inventar un sistema de álgebra sin aplicación posible.

Answer 7

La importancia del último teorema de Fermat no radica en sus aplicaciones, sino en las herramientas matemáticas que se desarrollaron como un subproducto de la búsqueda de una prueba.