Encuentre una fórmula explícita para [matemática] a_n [/ matemática] si [matemática] a_0 = 1 [/ matemática], [matemática] a_1 = 4 [/ matemática] y [matemática] a_ {n + 2} = 8a_ {n + 1} – 16a_n [/ math] para todos [math] n \ ge 0 [/ math].

ooh, esto es divertido!

¿Sabes cómo resolver una ecuación diferencial? Bueno. Esto es igual.

Entonces, olvidamos los requisitos iniciales y buscamos un a (n) para que
a (n + 2) = 8a (n + 1) – 16a (n)
Continuamos y asumimos que tiene una solución de la forma [math] p ^ n [/ math]. Ahora, ¿cuánto es p?

Al conectar [matemática] p ^ n [/ matemática] en la ecuación se obtiene: [matemática] p ^ 2 – 8p + 16 = 0 [/ matemática]
Esta ecuación tiene el doble de la misma raíz: p = 4, lo que hace que sea un poco más difícil de resolver. Sin embargo, sabemos que [matemática] 4 ^ n [/ matemática] es una posible solución.

Si la ecuación tiene dos raíces distintas [matemáticas] p_1, p_2 [/ matemáticas], entonces deben existir algunas constantes [matemáticas] c_1, c_2 [/ matemáticas] para que [matemáticas] a_n = c_1 p_1 ^ n + c_2 p_2 ^ n [ /matemáticas]. Sin embargo, no podemos usar eso, ya que [math] c_1 [/ math] y [math] c_2 [/ math] no son linealmente independientes en este caso.

Entonces, es hora de usar un pequeño truco.
Inserte [math] np ^ n [/ math] en la ecuación:
[matemáticas] (n + 2) p ^ 2 – 8 (n + 1) p + 16n = 0 [/ matemáticas]
Esto puede reescribirse como:
[matemáticas] p ^ 2 – 8p + 16 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2p – 8 = 0 [/ matemáticas]
Ambas ecuaciones tienen la misma respuesta p = 4! Eso significa que [matemáticas] n4 ^ n [/ matemáticas] también es una solución. (la prueba de que esto siempre funciona tiene que ver con derivados)

Ahora, podemos elegir las constantes [matemáticas] c_1, c_2 [/ matemáticas] para que, dado [matemáticas] a (n) = (c_1 + c_2n) 4 ^ n [/ matemáticas], a (0) = 1 y a ( 1) = 4.
Obviamente, c_1 = 1 y c_2 = 0.

Entonces [matemáticas] 4 ^ n [/ matemáticas]. QED